Calcul opérationnel

Le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformation de « Laplace-Carson » permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Les techniciens emploient de préférence la transformation de Laplace-Carson, une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : $\phi (p)=p\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}f(t)\,dt$ permet d'associer à toute fonction d'une variable $t\mapsto f(t)$ dite « fonction origine » une « fonction image » $p\mapsto \phi (p)$. Ainsi la solution algébrique de l'équation image permet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

$\phi (p)\,$ image de $f(t)\,$

La transformation inverse est notée :

$f(t)\,$ original de $\phi (p)\,$

Transformations de base

Pour une constante « C »

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :

$C\,$ est l'original de $C\,$,

$C.f(t)\,$ est l'original de $C.\phi (p)\,$,

$f_{1}(t)+f_{2}(t)\,$ est l'original de $\phi _{1}(p)+\phi _{2}(p)\,$,

$C_{1}.f_{1}(t)+C_{2}.f_{2}(t)\,$ est l'original de $C_{1}.\phi _{1}(p)+C_{2}.\phi _{2}(p)\,$

Image d'une variable « t »

$p\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}.t.dt=-\int _{0}^{+\infty }t.d(e^{-pt})=-[t.e^{-pt}]_{0}^{+\infty }+\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}dt\,$

Pour ${p}>0\,$, on obtient l'image ${\frac {1}{p}}\,$

Ainsi,

$t\,$ est l'original de ${\frac {1}{p}}\,$

,

$C.t\,$ est l'original de ${\frac {C}{p}}\,$

,

$C.t+C_{1}\,$ est l'original de ${\frac {C}{p}}+C_{1}\,$

.

D'une manière générale, par récurrence pour tout « n » entier positif, on obtient : $t^{n}\,$ original de ${\frac {n!}{p^{n}}}\,$

Image de l'exponentielle de « at »

$p\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}.e^{at}dt={\frac {p}{a-p}}.[e^{(a-p)t}]_{0}^{+\infty }\,$

Si $a=\alpha +i\beta \,$, la parenthèse devient :

$[e^{(\alpha -p)t}(cos\beta t+isin\beta t]_{0}^{+\infty }\,$, expression qui tend vers $-1\,$ lorsque que $p>\alpha \,$, dans ce cas l'image de $e^{at}\,$ est ${\frac {p}{p-a}}\,$

Pour « a » réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{at}\,$	${\frac {p}{p-a}}\,$	$(e^{at}-1)\,$	${\frac {a}{p-a}}\,$	${p}>{a},{a}>0\,$
$e^{-at}\,$	${\frac {p}{p+a}}\,$	$-(e^{-at}-1)\,$	${\frac {a}{p+a}}\,$	${p}>{-a},{a}<0\,$
${\frac {e^{at}-1}{a}}\,$	${\frac {1}{p-a}}\,$	$-{\frac {e^{-at}-1}{a}}\,$	${\frac {1}{p+a}}\,$
$ch(at)\,$	${\frac {p^{2}}{p^{2}-a^{2}}}\,$	$sh(at)\,$	${\frac {pa}{p^{2}+a^{2}}}\,$	${p}>{a}\,$

Pour $a=i\omega \,$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{i\omega t}\,$	${\frac {p}{p-i\omega }}\,$	$e^{-i\omega t}\,$	${\frac {p}{p+i\omega }}\,$
$cos({\omega t})\,$	${\frac {p^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}\,$	$sin({\omega t})\,$	${\frac {p\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\,$
${\frac {1-cos({\omega t})}{\omega ^{2}}}\,$	${\frac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}\,$

Si $a=\alpha +i\beta \,$, l'image de $e^{(\alpha +i\beta )t}\,$ est : ${\frac {p(p-\alpha +i\beta )}{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}\,$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{\alpha t}cos\beta t\,$	${\frac {p(p-\alpha )}{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}\,$	$e^{\alpha t}sin\beta t\,$	${\frac {p\beta }{(p-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}\,$

Si ${\alpha }<0\,$, la valeur de $e^{(\alpha +i\beta )t}\,$ est égale à zéro pour $t={+\infty }\,$, idem pour la valeur de la fonction image lorsque ${p}=0\,$.

Hypothèse fondamentale

L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de « t » négative. Bien que négligées la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction $U(t)$, dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de ${\frac {p}{p+a}}\,$ est $U(t).e^{at}\,$

Représentation de $U(t).e^{at}$.

L'échelon unité

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de « t » et égale à 1 pour toute valeur positive de « t ». Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)

Considérons une fonction h(t) telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

• $h(t)=0\,$ pour $t<0\,$,

• $h(t)={\frac {t}{\epsilon }}\,$ pour $0<t<\epsilon \,$,

• $h(t)=1\,$ pour $t>\epsilon \,$.

Représentation de la fonction $h(t)\,$ .

La fonction h(t) a pour dérivée g(t), représentée ci-dessous, caractérisée par :

• $g(t)=0\,$ pour $t<0\,$,

• $g(t)={\frac {1}{\epsilon }}\,$ pour $0<t<\epsilon \,$,

• $g(t)=0\,$ pour $t>\epsilon \,$.

Quel que soit $\epsilon \,$, l'aire du rectangle est égal à l'unité.

Représentation de la fonction $g(t)=h^{'}(t)\,$.

Fonction de Dirac ou percussion-unité

Si l'on fait tendre $\epsilon \,$ vers zéro, $h(t)\,$ tend vers $U(t)\,$ et $g(t)\,$ tend vers une fonction notée $U^{'}(t)\,$ qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité) caractérisée par deux valeurs :

* $U^{'}(t)=0\,$ quel que soit « t » sauf pour $t=0\,$ où la valeur de $U^{'}(t)\,$ devient infinie, et

* $\int _{t_{0}}^{+t}U^{'}(t)dt=1\,$ ,quel que soit t₀ ≤ 0 et t > 0.

Il vient alors : $\int _{0}^{+t}U^{'}(t)dt=U(t)\,$

Image de la fonction de Dirac

L'image de la fonction de Dirac est la limite quand $\epsilon \,$ tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :

$p\int _{0}^{+\infty }e^{-pt}.g(t).dt=p\int _{0}^{\epsilon }e^{-pt}.{\frac {1}{\epsilon }}dt={\frac {1}{\epsilon }}.[-e^{-pt}]_{0}^{\epsilon }\,$

Ce qui est égal à ${\frac {1}{\epsilon }}.(1-e^{-p\epsilon })\,$ qui, quand $\epsilon \,$ tend vers zéro, est égale à $p\,$.

L'image de la fonction de Dirac $U^{'}(t)\,$ est donc p.

Application aux équations différentielles linéaires

Ainsi à l'équation différentielle :

$A{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}+B{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+C{\frac {dy}{dt}}+Dy\mapsto f(y,y^{'},y^{''},y^{'''})\,$

avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en $y_{0}^{''},y_{0}^{'},y_{0}\,$,

correspond une équation algébrique image de $f(y,y^{'},y^{''},y^{'''})\,$ :

$(Ap^{3}+Bp^{2}+Cp+D)\cdot Y=A\cdot p^{3}y_{0}+(Ay'_{0}+By_{0})\cdot p^{2}+(Ay''_{0}+By'_{0}+Cy_{0})\cdot p+\phi (p)\,$