Problème de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

On parle de problème de Cauchy si l'on a une équation différentielle et des conditions initiales (CI)

Méthode d'Euler explicite ou schéma progressif[modifier | modifier le wikicode]

Le schéma d’Euler progressif est un schéma explicite, car il permet de calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ explicitement : $u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n})$

Méthode d'Euler implicite ou schéma rétrograde[modifier | modifier le wikicode]

Le schéma d’Euler rétrograde est un schéma implicite, car $u_{n+1}$ est défini implicitement en fonction de $u_{n}$ : $u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n+1},u_{n+1})$

En général, il faut donc résoudre une équation non-linéaire à chaque pas de temps. La méthode de Newton est souvent utilisée pour cela.

Méthode de Cranck-Nicolson[modifier | modifier le wikicode]

Un autre schéma de résolution qui offre une bonne convergence : $u_{n+1}=u_{n}+{\frac {h}{2}}\cdot [f(t_{n},u_{n})+f(t_{n+1},u_{n+1})]$

Méthode de Heun[modifier | modifier le wikicode]

Une spécialisation du schéma de Cranck-Nicolson dans lequel on explicite $u_{n+1}$ comme dans la méthode d'Euler explicite $u_{n+1}=u_{n}+h\cdot f(t_{n},u_{n})$ :

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