Calcul tensoriel/Électromagnétisme

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1 Équations de Maxwell (écriture classique)
2 Équations de Maxwell (écriture duale)
3 Champ électrique et champ magnétique
4 Expression du tenseur de champ électromagnétique
5 Premier groupe d'équations de Maxwell
6 Second groupe d'équations de Maxwell
7 Tenseur d'énergie-impulsion

[modifier] Équations de Maxwell (écriture classique)

Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture classique)

[modifier] Équations de Maxwell (écriture duale)

[modifier] équations de Maxwell, formules topologiques

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

$\mathcal{F}^{ik}{}_{;i} = 0^k$

${G_{}}^{ik}{}_{;i} = 0^k$

où $\mathcal{F}^{ik}$ et ${G_{}}^{ik}$ sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur $\mathcal{F}^{ik}$ est le tenseur dual du tenseur ${F_{}}_{ik}$ de composantes $\mathbf{E}, \mathbf{B}$ :

$\mathcal{F}^{ik} = \frac{1}{2} \; *^{iklm} F_{lm}$

Le tenseur ${G_{}}^{ik}$ contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes $\mathbf{-D}, \mathbf{H}$ , les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

[modifier] quadrivecteur charge-courant

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire $G i k$ comme somme d'un terme linéaire ${G_L}^{ik}$ et d'un terme non linéaire ${G_{NL}}^{ik}$ :

${G}^{ik} = {G_L}^{ik} + {G_{NL}}^{ik}$ .

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur $G i k =$ :

${j}^{k} = {G_{NL}}^{ik}{}_{;i}$

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

${G_L}^{ik}{}_{;i} = -j^k$

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a ${G_L}^{ik}{}_{;i;k} = 0$ et donc

j k; k = 0

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

[modifier] équation constitutive du vide

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de $G i j$ et $F i k$ est simplement

${G_L}^{ik} = \frac{1}{\mu_0} F^{ik}$

avec $μ 0 = 4π10 - 7$ (SI).

[modifier] écriture traditionnelle des équations de Maxwell

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

${F_{}}^{ik}{}_{;i} = -\mu_0 j^{k}$

Avec le même tenseur ${F_{}}^{ik}$ , le premier groupe s'écrit

$*^{ik}{}_{lm}{F_{}}^{lm}{}_{;i} = *^{iklm}F_{lm}{}_{;i} = 0^{k}$

[modifier] expression des tenseurs électromagnétiques

Pour un tenseur métrique diagonal $( - c 2,1,1,1)$ , les tenseurs électromagnétiques s'écrivent

$F_{ik} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z\\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$

$F^{ik} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c^2 & E_y/c^2 & E_z/c^2\\ -E_x/c^2 & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c^2 & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c^2 & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$

${G_L}^{ik} = \begin{pmatrix} 0 & D_x & D_y & D_z\\ -D_x & 0 & H_z & -H_y \\ -D_y & -H_z & 0 & H_x \\ -D_z & H_y & -H_x & 0 \end{pmatrix}$

$i c \mathcal{F}^{ik} = \begin{pmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z\\ -B_x & 0 & -E_z & E_y \\ -B_y & E_z & 0 & -E_x \\ -B_z & -E_y & E_x & 0 \end{pmatrix}$

${G_L}_{ik} = \begin{pmatrix} 0 & -c^2 D_x & c^2 D_y & c^2 D_z\\ c^2 D_x & 0 & H_z & -H_y \\ c^2 D_y & -H_z & 0 & H_x \\ c^2 D_z & H_y & -H_x & 0 \end{pmatrix}$

$i c {\mathcal{G}_L}^{ik} = \begin{pmatrix} 0 & H_x & H_y & H_z\\ -H_x & 0 & -c^2 D_z & c^2 D_y \\ -H_y & c^2 D_z & 0 & -c^2 D_x \\ -H_z & -c^2 D_y & c^2 D_x & 0 \end{pmatrix}$

$j^k = \begin{pmatrix} \rho & j_x & j_y & j_z \end{pmatrix}$

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