Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Base naturelle

Un livre de Wikibooks.

Nous allons maintenant introduire la notion de "base naturelle".

Par définition, la base naturelle au point M est la base formée par les vecteurs:

\mathbf{e}_i = \frac{\partial \mathbf{OM}}{\partial x^i}

ou O représente évidemment l'origine.

\mathbf{e}_i est donc la base naturelle de vecteurs locaux associés à un système de coordonnées quelconque xi. Un élément infinitésimal s'écrit dans cette base:

d\mathbf{l} = \sum_i dx^i \mathbf{e}_i

On a par définition:

\mathbf{e}_i = \frac{\partial \mathbf{l}}{\partial x^i}

  • Remarques
    1. La lettre \mathbf{l} étant muette, on voit parfois écrit \mathbf{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}, avec le risque de confusion avec l'opérateur dérivation.
    2. Sauf dans le cas d'un repère cartésien, la base naturelle varie d'un point à un autre. Chaque symbole \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, etc. représente en fait un champ de vecteurs.
    3. Les vecteurs de base se transforment selon la formule \left[\mathbf{e}_a\right]_i = \sum \left[\mathbf{e}_b\right]_i \left[\theta_{ba}\right]^i{}_j. Démonstration
Récupérée de « http://fr.wikibooks.org/wiki/Calcul_tensoriel/Notions_%C3%A9l%C3%A9mentaires/Base_naturelle »