Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de Ricci

Le tenseur de Ricci est obtenu en contractant le tenseur de courbure entre un indice de la première paire et un indice de la seconde paire :

$R i k = R i m k m = g j l R i j k l$

Grâce à la symétrie par paires du tenseur de courbure, le tenseur de Ricci est symétrique.

Le tenseur de Ricci complètement contracté est un scalaire :

$R = g i j R i j$

La divergence du tenseur d'Einstein $R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R$ est nulle :

$\left[R^{ij} - \frac{1}{2} g^{ij} R\right]_{;j} = 0$

Cette équation fondamentale se démontre en mettant en jeu la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique.

C'est en identifiant le tenseur d'Einstein et le tenseur d'énergie-impulsion que l'on obtient l'équation d'Einstein qui fonde la relativité générale.