Calcul tensoriel/Notions élémentaires/composantes covariantes et contravariantes

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Soit V un espace vectoriel, et soit \vec{V}\in V et {ei} une base de V.

On note, avec la convention d'Einstein:

\vec{V}=V^i e_i

Tout simplement, les nombre Vi sont les composantes contravariantes du vecteur \vec{V}. Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.

Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:

\vec{V}=V_i e^i

ou la base {ei} est la base duale de {ei}, définie par:

e^i e_j = \delta^i_j

Remarques:

  • Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
  • Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
  • On peut déduire qu'une base orthogonale est identique à sa base duale.
  • La base duale de la base duale est la base de départ.
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