Calcul tensoriel/Système de coordonnées
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On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.
Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la ième composante d'un point respectivement ![\left[x_a\right]^i](http://upload.wikimedia.org/math/a/1/a/a1abf4752fb998c75362ea36a2b46dad.png)
et ![\left[x_b\right]^i](http://upload.wikimedia.org/math/5/9/b/59b38c18c5e6b29e6e64ba33ee9987ec.png)
dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :
![\left[x_b\right]^i = \left[\Theta_{ba}\right]^i \left(\left[x_a\right]^0, \left[x_a\right]^1, \ldots\right)](http://upload.wikimedia.org/math/e/9/9/e991e002c16bbac65ea85ef0130e8266.png)
![\left[x_a\right]^i = \left[\Theta_{ab}\right]^i \left(\left[x_b\right]^0, \left[x_b\right]^1, \ldots\right)](http://upload.wikimedia.org/math/5/d/0/5d06bf71f533c8bf7008177106c8438b.png)
Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :
![d\left[x_a\right]^i = \sum_j \left[\theta_{ab}\right]^i{}_j d\left[x_b\right]^j](http://upload.wikimedia.org/math/d/c/0/dc068da897483ae332da908446f4541b.png)
Ainsi on a:
![\left[\theta_{ab}\right]^i{}_j = \frac{\partial\left[\Theta_{ab}\right]^i}{\partial\left[x_b\right]^j}](http://upload.wikimedia.org/math/9/c/f/9cf6aafba569bb77dc5700ecdae0d7f2.png)
Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant 
le symbole de Kronecker, on a
![\sum_j \left[\theta_{ab}\right]^i{}_j \left[\theta_{ba}\right]^j{}_k = \delta^i_k](http://upload.wikimedia.org/math/4/1/d/41d297a87591c678e98105ec255ce4e2.png)
Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:
[[./Notions élémentaires#Système de coordonnées|notions élémentaires]]
