Intégrale impropre (E-M)

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Exercices de mathématiques
Sommaire

Pour simplifier, une intégrale impropre est l'intégrale sur ]a , b[ d'une fonction dont la primitive n'est pas définie en a ou en b

  • \star\starPour quelles valeurs des paramètres réels α et β, l'intégrale suivante existe-t-elle ? \int_e^{+\infty} {dt \over t^\alpha\,(\ln t)^\beta} (intégrale de Bertrand).


Solution

pour α >1 et β quelconque, ou α =1 et β >1

 


  • Calculer pour tout n\in \mathbb{N} , l'intégrale \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}.
Solution


\begin{align} & \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{1}{x}\left(\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( -1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)\sin \left(\left( 2k+1 \right)x \right)} \right)dx} \\ & \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\frac{1}{4^{n}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin \left(\left( 2k+1 \right)x \right)}{x}dx}} \\ \end{align}


Or on a \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin \left(\left( 2k+1 \right)x \right)}{x}dx}=\int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi }{2}.


Donc on obtient \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\frac{\pi }{2^{2n+1}}\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)}.


Comme \sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\\end{matrix} \right)}=\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\\end{matrix} \right) .


D'où \int\limits_{0}^{+\infty }{\frac{\sin ^{2n+1}x}{x}dx}=\frac{\pi }{2^{2n+1}}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right).

 



  • Calculer pour tout n\in \mathbb{N}^{*} l’intégrale I_{n}=\int\limits_{1+\frac{2}{n}}^{+\infty }{\frac{dx}{x\left(nx-n-1 \right)\sqrt{1+2x+...+nx^{n-1}}}}.
Solution


Tout d’abord , on a 1+2x+...+nx^{n-1}=\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}{x^{k}} \right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x} \right)=\frac{x^{n}\left(nx-n-1 \right)+1}{\left(1-x \right)^{2}}.


D’où on a I_{n}=\int\limits_{1+\frac{2}{n}}^{+\infty }{\frac{\left(x-1 \right)dx}{x\left(nx-n-1 \right)\sqrt{x^{n}\left(nx-n-1 \right)+1}}}.


Faisons un changement de variable , pour cela posons y=\sqrt{x^{n}\left(nx-n-1 \right)+1}.


D’où I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\int\limits_{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}^{+\infty }{\frac{dy}{\left(y-1 \right)\sqrt{y}}}.


Et un petit changement de variable encore avec t=\sqrt{y} , ce qui donne : I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\int\limits_{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}}^{+\infty }{\frac{2}{t^{2}-1}dt}.


D’où I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\int\limits_{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}}^{+\infty }{\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right)dt}.


D’où I_{n}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\left[ \ln \left(\frac{t-1}{t+1} \right) \right]_{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}}^{+\infty }.


Finalement on obtient :: \overline{\overline{\underline{\underline{\int\limits_{1+\frac{2}{n}}^{+\infty }{\frac{dx}{x\left(nx-n-1 \right)\sqrt{1+2x+...+nx^{n-1}}}}=\frac{1}{n\left(n+1 \right)}\ln \left(\frac{\sqrt{1+\left( 1+\frac{2}{n} \right)^{n}}-1}{\sqrt{1+\left(1+\frac{2}{n} \right)^{n}}+1} \right)}}}}.

 
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