Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/la chute libre

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• Attention : une bonne partie de la réflexion est actuellement dans la discussion. Elle en sortira quand elle aura été suffisamment critiquée.

La lesson , elle, est conçue d'abord pour apprendre quelques rudiments d'exercices, et un peu de métrologie. Son niveau est bac-2, bac-1, bac , et bac+1.

[modifier] Leçon : la chute libre verticale des corps

[modifier] Expérience

Soit un plomb, P, soutenu par une corde mince.

On le laisse bien au repos, au ras du sol. On marque à la craie la position au sol, disons A . Le plomb est relevé de 2m environ, bien à la verticale de A en un point O.

Il est immobile en O. On brûle la ficelle. Le plomb tombe de O en A, selon un mouvement dit de chute libre verticale, dans l'air, qui évidemment perturbe le mouvement en le ralentissant.

Galilée(1564-1642) eût l'idée, géniale pour l'époque, d'imaginer ce mouvement à la limite où il n'y aurait pas d'air ! Le plomb tomberait alors dans le vide : c'est la chute libre verticale!

Aujourd'hui, on sait faire cette expérience dans un tube privé d'air (grâce à une pompe aspirante). On a des caméras pour enregistrer le mouvement. On peut refaire l'expérience à loisir avec d'autres dispositifs.

[modifier] note historique : penser le vide

à l'époque ( avant 1644), penser le vide était assez révolutionnaire, voire hérétique (la discussion en est passionnante, mais voir l'article Torricelli) ; Galilée lui-même n'y croyait pas trop ; son élève Torricelli(1609-1647) mit le "vide grosso" en évidence dans la "chambre barométrique" en 1644, après avoir compris le problème des fontainiers (de la ville de Sienne) qui n'arrivaient pas à faire fonctionner leurs siphons.

[modifier] L'expérience confirme LA LOI de GALILÉE :

exprimée en notations modernes, elle dit :

Le plomb se meut selon la loi :

.

La courbe expérimentale donne la valeur de g , appelée accélération de la pesanteur. Elle varie selon les points où l'on fait l'expérience. A Paris, on prend usuellement la valeur g = 9.81 N/kg.

• On peut calculer la dérivée première de z(t), pour trouver la vitesse instantanée du mobile. Elle croît linéairement avec le temps.

• On peut calculer enfin la dérivée de la vitesse , l'accélération (a) qui se trouve être constante et égale à g :

.

• [[Note annexe : Il ne paraît pas illogique de dire aussi que la dérivée de l'accélération ( le jerk) est nulle :

Mais on verra plus tard qu'il vaut mieux s'arrêter à l'énoncé précédent. C'est ce que dira Newton ( 1687 !) : il faut et il suffit de connaître la position initiale et la vitesse initiale pour déterminer la position ultérieure d'un mobile : évidemment, il faut la donnée de l'accélération à tout instant! On dit que la description du mouvement par sa position-vitesse est celle de l'espace des "phases" ou l'espace des positions-impulsions. Nous discuterons abondamment de cette "prise-de-position" , plus tard (plus avant dans ce texte), car c'est une question pertinente mais délicate]].

[modifier] Remarque

• Il y a dans cette Loi de Galilée, deux Lois:

1. Le mouvement a une accélération constante : on dit qu'il est uniformément accéléré.
2. Un fait extraordinaire, peu crédible mais pourtant vrai :

la loi ne dépend pas du plomb, ni de l'uranium !

on peut prendre une pierre, un sac lesté de plomb, de sable ou de papier, ou de polystyrène, et même une plume : Newton a pu faire cette expérience approximativement, car à son époque, on savait faire "assez bien" le vide dans un tube de verre de 2m de long.

La plume tombe exactement comme le plomb !

• [[Note historique : Oser affirmer cela en 1638 était prodigieusement audacieux, car la notion de "en admettant que l'air soit raréfié à la limite extrème", c'était implicitement dire que le VIDE existait ! L'expérience a été faite sur la Lune (qui n'a pas d'atmosphère) en 1969 ; le résultat reste exact ; sauf que la pesanteur sur la Lune est plus petite (environ g/6). On verra dans une prochaine leçon, l'influence de l'air.

Évidemment, ce qui est le plus curieux dans cette loi est que ni la masse ni la densité du corps n'intervient: ceci paraît absurde : le vide tombe-t-il dans le vide ? la lumière tombe-t-elle dans le vide ? et l'air, pourquoi ne tombe-t-il pas ? Voir pour plus d'approfondissement, la leçon sur le vide]].

• On voit bien que cette loi, une des toutes premières énoncées en physique soulève pour qui accepte cet énoncé, en étant éveillé (cf Faraday!), une foule de gedanken-questions, qu'il faudra peu à peu résoudre.

• remarque:

en réalité, le pivotement de la Terre en un jour sidéral provoque une minime déviation vers l'Est ; il en est fait état ici, mais la théorie en sera faite bien après ce cours élémentaire initial. D'autre part, g(z) varie un peu avec l'altitude z : si l'on veut de la précision, il faudra modifier légèrement la loi.

[modifier] Résumé

La loi de la chute libre verticale est :

Sans perte de généralité. On peut remonter aux CI(Conditions Initiales) générales:(Zo,Vo) :

[modifier] Note historique : la Tour de Pise

Il faut tordre le coup à ce faux compte-rendu de Viviani dans son hagiographie de la vie du grand Maître : Galilée n'a certainement jamais fait les expériences de la tour de Pise. Koyré le démontre très bien :

Galilée , tout comme Beeckman, sait l'existence d'une vitesse-limite. Plomb et sureau ne tombent pas à la même vitesse. Deux billes de plomb non plus. A quoi eût donc servi une telle expérience ?

De fait, la grande idée de Galilée fût en réalité celle de ralentir la chute, via le plan incliné (voir leçon ultérieure), et de penser une gedanken-experiment : faire remonter ensuite la masse sur un autre plan incliné : alors, il était crédible que la bille allait remonter à la même hauteur, à supposer que l'influence des frottements fût négligeable. Cette supposition à laquelle Galilée apporte tout son crédit est ce qui permet de décomposer le mouvement en un mouvement théorique, puis une seconde partie (laissée inachevée!) où la perturbation de la résistance vient modifier le comportement. D'autres que Galilée eurent des idées, elles aussi très ingénieuses, plus proches même de la réalité expérimentale. L'Histoire n'a retenu que Galilée, parce que sa démarche s'est avérée la plus fructueuse. Mais en 1632, le Dialogo est plutôt re-rédaction de choses comprises bien avant, choses écrites en italien pour le "grand public cultivé" (dixit Koyré).

[modifier] Exercices

On prendra g = 10 m/s² approximativement.

1/. exAN : Trouver la hauteur de chute si le temps de chute est 2s .

[Réponse : h = 1/2 . 10 . 4 = 20m ! et la vitesse à l'arrivée est v= 20m/s soit 72km/h : malheur à vous, c'est fatal !] .

2/. exRelationV(x) : Eliminer le temps entre z(t) et v(t) pour trouver la relation dite de Torricelli(1608-1647) : v² = 2g.z (c'est la quatrième formulation de la loi, dans le résumé).

En déduire la compréhension du slogan de la Sécurité routière : arriver sur un obstacle à 36km/h "c'est comme" chuter de 5m (2ème étage environ), mais à 72km/h , c'est comme chuter de 20m! Il FAUT ceinture et air-bag.

Montrer plus généralement que V² -Vo² = 2g (z-zo) [ loi de Torricelli(1608-1647) : voir exo7 (je déteste les exocets et tout armement).

3/.(*signale un exercice plus difficile) exPrincipe de Galilée** :

Galilée défendit la thèse que si on se déplace dans un bateau à la vitesse constante Vo, alors on ne pouvait pas s'en apercevoir à l'intérieur du bateau ; on pourrait continuer à jouer au ping-pong, à faire de la GRS, etc. RIEN ne permet de distinguer le mouvement du bateau. "Un mouvement uniforme , c'est comme RIEN ". Familièrement, on dirait aujourd'hui, ça compte pour du beurre.

Torricelli est le premier à avoir appliqué ce principe à la chute libre

• [ Note historique : il l'a signalé en 1641 (de Motu)à Castelli(1577-1644) , qui en rendit compte à Galilée. Galilée , très admiratif, demanda à Torricelli(1608-1647)de devenir son élève, en 1641 ; bien que très fier d'être choisi, Torricelli était mort de trouille, à cause de l'Inquisition].

• Montrer alors qu'il est normal d'obtenir pour le mouvement vertical avec vitesse Vo au départ : z(t) = 1/2.g.t² + Vo.t +Zo ; et que cela reste toujours valable à n'importe quelle altitude.

4/. Expérimentation(*): Une caméra prend des photos à des tops réguliers. Une règle verticale photographiée en même temps que le plomb donne 3 valeurs z1, z2 et z3 pour des temps t1, t2 = t1 + τ , t3 = t1 + 2τ .Montrer que , quel que soit t1 et τ , [(z3-z2)/τ - (z2-z1)/τ² = g . En déduire une manière de mesurer g avec avantage. La réciproque est-elle vraie(**) : si l'accélération discrète est constante, le mouvement discret est-il celui de Galilée?

Enfin, on pourra montrer que V(z1)+V(z2) = 2 (z2-z1)/(t2-t1); c'est à dire la vitesse moyenne entre t1 et t2.

• [Historiquement, la notion de vitesse à une date donnée a été difficile à dégager : Galilée l'appelait "le degré de vitesse" , Descartes, "la vitesse à ce moment-là", ce qui a donné "moment de vitesse", et par une traduction malheureuse en anglais : momentum pour "quantité de". Si on avait respecté le langage d'époque, on ne dirait pas la quantité de matière mais le moment de matière. Un tel pataquès langagier devrait être expurgé de l'enseignement.]

5/.(*)exPuits : Pour avoir la hauteur H d'un puits, on y laisse tomber un caillou au temps t = 0 ; on entend le son au temps T : trouver la hauteur H (on appellera c , la célérité du son).En fait, il y a résistance de l'air : H est-il une mesure par excès ou par défaut ? Que pensez-vous des exercices du bachot où T dépasse deux secondes !?

6/.(*)exCroisement : On lance une pierre P vers le haut. Elle atteint la hauteur H . Juste à cet instant, on lance une deuxième pierre Q de la même manière. De tête, où les 2 pierres se rencontrent-elles ?

[modifier] Solutions

[modifier] exPrincipe de Galilée**

Torricelli a pu tenir le raisonnement suivant :

si le mouvement d'un corps chutant au départ comme z = 1/2.g.t² est avec une nouvelle origine des temps, z = f(t, Zo, Vo)= 1/2 gt² + Vot +Zo ,

alors à un instant T1, il sera en Z1 = f(T1, Zo, Vo) avec la vitesse V1 = g.T1 + Vo.

Puisque la vitesse V1 joue à cet instant le même rôle que Vo à l'instant t=0 pris pour origine, Torricelli dit que : z= f(t+T1, Zo, Vo) = f(t,Z1, V1), avec la même fonction f(., . , .), soit :

1/2 g (t+T1)² + Vo.(t+T1) + Zo = ? = 1/2 g.t² + V1.t + Z1 , avec V1 = g.T1 + Vo et Z1 = 1/2 g.T1² + Vo.T1 + Zo :

Après simplification, Zo s'élimine ainsi que Vo.t , puis Vo.T1 . Il reste à verifier :

1/2 g (t+T1)² = ? = 1/2 g.t² + g.T1.t + 1/2 g.T1² , ce qui est vrai.

Mais ce n'est pas la réponse demandée ! bien que cela soit perçu par beaucoup d'étudiants comme la bonne réponse ! le calcul est en effet pertinent et exact; mais il ne répond pas à la question ! On ne fait que vérifier l'auto-pertinence de la formule, mais on ne démontre pas z ~ t² !

- - -

En effet, Torricelli a dit plus :

Il a admis que z = f(t, Zo, Vo) = h(t)+ Zo + Vo.t , sans connaître h(t) : il a donc SCINDÉ et le rôle de l'origine, et celui de la vitesse initiale ! D'une fonction de trois variables , il est passé à une fonction h(t) d'une variable ! ce faisant, il a admis comme évident ce qui n'est vrai que pour la pesanteur : un point Z1 plus bas, c'est la même loi qui agit, et on pourra écrire avec la même fonction h(t)inconnue :

z = h(t+T1) + Zo + Vo.(t + T1) = h(t)+ Z1 + V1.t , ceci quel que soit t , avec Z1 = h(T1) + Zo + Vo.T1 , et avec V1 = h'(T1) + Vo (exprimé en formalisme moderne). Ce qui conduit à l'équation fonctionnelle:

h(t+T1) = h(t) + h(T1) + h'(T1).t ,

pour tout t et pour tout T1.

Alors , par symétrie de rôle de t et de T1 , on peut écrire :

h(t+T1) = h(T1) + h(t) + h'(t).T1

ce qui conduit à h'(t).T1 = h'(T1).t et donc h'(t)/t = h'(T1)/T1 = cste donc , appelons-la ...g ! Alors h'(t) = g.t

La vitesse ne pouvait être que linéaire en t.

Du reste, si on prend l'origine du référentiel galiléen tangent à l'instant de départ , donc avec une vitesse nulle, cela paraît "naturel" ! Remarquable raisonnement de Torricelli en 1641(De Motu).

Au final, si h'(t) = g.t , h(t) = 1/2.g.t² :

Rappelons ce qui a été utilisé : l'invariance galiléenne et l'invariance du mouvement par translation (ce qui revient à dire : pesanteur constante).

Il est évident que Galilée fût ravi que son ami Castelli eût un élève aussi doué !

[modifier] exTP

La vitesse Vo n'intervient pas d'après l'exercice 3/ : cela se vérifie d'ailleurs aisément. Il reste en prenant t2 comme origine,

z3-2z2+z1 = 1/2.g[(t2+τ)² -2(t2)² + (t2-τ)²] = 1/2. g [ 2 τ²].

On appelle dérivée discrète seconde au point z2 , la quantité (z3-2z2+z1)/τ² .

On constate qu'elle vaut g , ceci quel que soit z2 et τ !

Ceci permet d'intéressantes comparaisons expérimentales et permet de valoriser certains TP(travaux pratiques). Admettons par exemple que la caméra donne 25+1 photos sur une seconde (soit une chute de 5m devant une règle graduée): Voici une méthode parmi d'autres, via un logiciel de traitement de données : la caméra a donné la k-ième photo au temps k/25 . Il y a si 1< k < 12, k façons de prendre la dérivée discrète, qu'on ordonnera vers la plus précise et on en prendra l'extrapolation que l'on considèrera comme la valeur de l'accélération a(k).On portera alors ces valeurs a(k) en fonction de v(k)² [avec les v(k) calculées de même sorte ]: la courbe est "sensiblement linéaire" : son extrapolation pour k = 0 donne une valeur de g. Les résultats d'une classe (2 *2* 12 élèves) sont honnêtes et valent bien le résultat du pendule de Kater. L'idéal est évidemment de bénéficier d'un ascenseur + appareil à pression réduite. Mais il ne faut pas rêver!

D'autres dispositifs équipés de photodiodes donnent le temps de passage à telle ou telle altitude (t(k) = T(z(k)) ) : on refléchira sur la méthode la plus adaptée dans ce cas (penser à la formule de Torricelli).

- -

(**)Réciproquement, une suite récurrente z(n+1) = 2 z(n) - z(n-1) + Go(τ)² est effectivement une suite du type z(n) = ½Go (n.τ)² + A (n.τ) + B

Actuellement, cette méthode est utilisée mais en faisant tomber "le coin de cube d'un Michelson" : les franges défilent et sont enregistrées. On arrive à une précision relative de 12 ChS(Chiffres Significatifs), depuis la mise au point du dispositif par Sakuma, en 1970, au BIPM (Bureau International es Poids et mesures , installé au parc de Saint-Cloud).Les gravimètres genre Sakuma sont couramment utilisés. La gravimétrie est donc devenue une science très précise, utilisée par les géologues. On pourra lire avec profit la leçon gravimétrie, (nettement plus élevée comme niveau).

[modifier] exPuits

On aura le temps de chute t1 tel que H = ½ g t1² et H = ct2 ; soit T = temps total = t1 +t2 = sqrt(2H/g) + H/c , équation du deuxième degré en sqrtH = x > 0 ; soit x² + x. sqrt(2c²/g)-cT = 0 et l'on prend la racine positive.

On peut aussi écrire cette même équation H = ½g [T-H/c]² ; si c est "assez grand" , on aura H = ½gT²(1-ε) avec ε = gT/c .( on a vu qu'un puits de 20m donnait gT = 20m/s << c = 330m/s .

Remarque(**): la correction due à la résistance de l'air est trop importante. On majore de ce fait beaucoup la profondeur du puits : en effet, g est pris "trop grand" par rapport à la réalité.

• Prolongement de l'exercice pour les bac+1 : prendre par exemple une résistance en -V/tau. (Les fortiches prendront en -k.V² ! ).

• Prolongement pour les IUFM : on prend la température du puits qui augmente avec la profondeur, et disons une profondeur de 300 mètres. Mais alors, il faudra aussi appliquer la correction de Bouguer . + un peu d'acide_sulfurique, comme dit la plaisanterie ; on peut toujours compliquer à loisir un exercice !!

[modifier] exCroisement

Tracer le diagramme horaire z(P,t) et celui z(Q,t) : par intersection , la rencontre a lieu à T/2 et le résultat devient évident :[Réponse : rencontre à z =3/4 . H].

[modifier] Exercices, deuxième série

[modifier] exLoi de Torricelli*

montrer qu'en choisissant une origine Xo où la vitesse initiale est Vo , la loi de Galilée-Torricelli s'écrit :

.

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[modifier] Solution exLoi_de_Torricelli

Il s'agit d'éliminer t entre Z= Zo + 1/2 gt² + Vot et V = Vo + gt : la deuxième équation donne t= (V-Vo)/g et l'on reporte dans la première. Les calculs se simplifient et donne la loi générale de Galilée-Torricelli .

Remarque : de nos jours , cela nous paraît facile. En réalité, Galilée n'a jamais su le faire, et Torricelli a eu un discours très tortueux pour arriver à cette loi ; bien sûr dans ce temps, les dérivées existaient à peine : Descartes avec Cavalieri les possédaient assez bien, puis Fermat et Roberval vont progresser aussi : dès 1610-1620 leur "conviction" s'est affermie. Galilée restera bien empêtré et son Dialogo destiné au "grand public" (dixit Koyré) est plein de redites à ce sujet. Torricelli(1608-1647)n'a pas ces scrupules ; il va même notablement améliorer le calculus.

[modifier] (**)exPseudoparadoxe de la vitesse nulle

Marin Mersenne (1588-1648) [un des plus célèbres correspondants scientifiques de l'époque] n'arrivait pas à comprendre la loi V = g.t , car disait-il, si V = 0 au départ , le plomb ne peut pas avancer ! Huygens(à 17ans!) lui répondit(1646). Imaginer sa lettre de réponse.

[modifier] Solution : exPseudoparadoxe_de_la_vitesse_nulle

en fait, mea culpa car j'ai lu la photocopie et c'est cafffouillis (comme indiqué dans la préface de cet opuscule) ; je la recopie in extenso en discussion pour ne pas alourdir le texte : on pourra juger du caractère des messages épistolaires de l'époque. Essentiellement, le jeune Huygens répondit que la loi générale était V = Vo + gt , même si Vo est négatif (la pierre est lancée vers le haut) : la loi est tout aussi vraie , mais c'est une loi affine dans ce cas, avec vraiment rien de particulier au moment où V(t) = Vo. Au sommet de la parabole du diagramme horaire, il ne se passe donc strictement rien de particulier, même si ce point fût l'objet de spéculations intellectuelles très passionnées, pour savoir si le temps passé en ce point était FINI.

• [[Note épistémologique : Le problème est récurrent en physique expérimentale : comment gérer une mesure qui doit donner un résultat nul !! Tout ce que peut faire un physicien, c'est soit mesurer que la vitesse est "quasiment" nulle , soit déplacer la question : montrer que la loi de vitesse est raisonnablement affine ; alors, plus personne n'a d'objection ; on dit qu'on a "réduit" le pseudo-paradoxe. Progressivement, avec les siècles, la question n'est même plus soulevée]].

[modifier] exBertozzi***

Même si l'on ne connaît rien aux travaux d'Einstein, on sait que c'est lui qui a dit : aucun corps matériel ne peut dépasser la vitesse c . En déduire que la loi de Galilée ne peut être juste aux grandes vitesses. (Dans une prochaine leçon , cela sera étudié et la loi de Galilée sera corrigée en loi de Galilée-Einstein).

[modifier] Solution: exBertozzi

avec v= gt , la vitesse est v=c au temps c/g , soit 3.10^7 s , c'est à dire environ un an. Mais la loi continue et donc v dépasserait c : contradiction avec Einstein, et l'expérience valide Einstein. On verra que la loi de Galilée-Torricelli sera légèrement modifiée :

.

On retrouvera ce résultat dans une très prochaine leçon (Expérience de Bertozzi).

• Note et exercice : sachant que (1+eps)^a = 1 +eps*a + eps^2*a(a-1)+... ( formule dite de Newton, et que l'on pourra aisément mémoriser-mnémotechniquement en pensant à a=2,1,0,-1), vérifier que la loi de Bertozzi redonne la loi de Torricelli aux "basses vitesses" ; montrer que la correction est en V²/c² [ note: un célèbre raisonnement de Mascart montre que l'on ne peut pas avoir de correction en V/c ; voir plus tard ].

[modifier] exQuestionsShadok_sur_le_vide_et_la_gravité***

La loi de Galilée dans son deuxième énoncé semble absurde : quelle que soit la masse du corps, le corps tombe de la même manière dans le vide ! Question 1 : le vide tombe-t-il dans le vide ? Question 2 : la lumière(c'est-à-dire un photon) tombe-t-elle dans le vide? Question 3 : l'air tombe-t-il ?.

[modifier] solution_exQuestionsShadok_sur_le_vide_et_la_gravité

Oui ! ce sont des questions un peu shadok !

Question 1 : je ne sais pas vraiment répondre ! En gros, il faut répondre que si le vide possède une impulsion , pourquoi pas ? mais comment mettre ceci en évidence dans un espace vide ! C'est très métaphysique : restons sceptiques.[Astrid Albrecht et Serge Raynaud(LKB) auraient , sans doute, une réponse plus circonstanciée].

Question 2 : elle est pertinente : oui , la lumière tombe dans le vide : c'est ce qui est donné comme réponse en (9/.), et ce n'est pas sa vitesse qui change , puisqu'elle reste immuable : c = 299 792 458m/s. Mais son impulsion ; il vaut mieux parler de photon : ainsi l'impulsion du photon change , donc son énergie (donc sa fréquence change) : cet effet s'appelle le "red-shift gravitationnel d'Einstein" et est parfaitement vérifié aujourd'hui (il faut en tenir compte dans l'envoi des signaux GPS, sous peine de voir la qualité des résultats être entâchée d'une erreur systématique).Nous reverrons ces calculs un peu plus tard ( pour les TermS, il ya eu un problème du Concours général sur cette question de l'effet Einstein ).

Question 3 : oui bien sûr , une molécule de dioxygène tombe. Si l'air globalement ne tombe pas , c'est qu'il est déjà tombé depuis longtemps : on sait bien que l'air est situé essentiellement à basse altitude ; mais précisément comme il y en a plus en bas qu'en haut, la diffusion thermique en fait plus remonter du bas vers le haut que du haut vers le bas ; ce que nous voyons est l'équilibre dynamique stationnaire entre ces deux phénomènes : la chute et la diffusion globale vers le haut. Cette question sera parfaitement résolue plus tard quand on fera la théorie de la diffusion d'Einstein(en attendant, on peut relire l'explication magnifique de Feynman , dans lectures on physics).

Voilà ces questions "à la Faraday", que l'on aimerait bien voir poser par les étudiants: être curieux d'esprit et interroger sans relâche les énoncés d'une loi dite fondamentale.

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[modifier] Exercices supplémentaires

il y a toujours des exercices supplémentaires : ils complémentent !

[modifier] mesure de g

je lis dans un livre ( sic!) l'exercice suivant : pour mesurer g , on envoie un objet vers le haut avec la vitesse Vo = u ; on mesure le temps de passage devant deux diodes situées à z1 et z2 : soit T1 et T2 les datesdepassage. Puis le mobile s'arr^te de monter à l'altitude Zm , et redescend et repasse devant les diodes aux dates T3 et T4.On appelle durée D1, D1 = T4-T1 et durée D2 = T3-T2 . Et distance H = Z2-Z1.

On dit que g vaut :

Discuter cette expérience.En particulier , le fait des mesures de différence, et/ou résistance de l'air , et/ou variation de g(z) , et/ou recul du sol si on envoie la balle ( il y a recul du "canon" ); etc. Quelle précision ultime envisagez-vous ?

Que pensez-vous de l'expérience inverse : lâcher depuis Zm , et rebond élastique en z=0.

(on donnait dix minutes pour trouver la formule et 2 heures pour la discussion ( et même plus ...)).

Solution :

Le livre donnait la solution suivante, en dix lignes de calcul :

z1 = a + uT_1 + k T_1^2 idem z2, idem z3 = z2 et idem z4 = z1 ( on a posé g = 2k ).Soit 4 équations pour 3 inconnues !! Il y a donc (masquée) une condition entre les données.

On en déduisait que u = -k.S1 (avec S1 = T_1 + T_4 ) , donc = -k.S2

et par conséquent , il faut que les données soient compatibles avec T1+T3 = T2+T4.

Alors, on peut lancer Maple ! Mais mieux, on peut prendre la valeur commune précédente comme valeur Tmediane et mesurer T_i par rapport à cette valeur. Et alors les calculs éliminent S1 et S2 . On pousse , on tire , et on trouve la formule indiquée.Mais tout ceci n'est pas très élégant!

Allyson arrive et dit : mais c'est évident : je trace le "diagramme horaire" et je place correctement l'originedestemps : D1 = 2T_4 = -2T_1 et idem D2 = ... ; donc de tête, Allyson dit : H = 1/2 g [ (D2/2)^2 - (D1/2)^2 ]; cqfd ( en un dessin + 20 secondes!).

[modifier] Discussion:métrologie de la pesanteur

évidemment si l'on opère ainsi , c'est parce qu'on aura une énorme précision sur la différence des temps ( une durée !) , et une énorme précision sur la différence de altitudes(une distance !). Toute la discussion va donc porter sur la précision en question , par rapport à d'autres méthodes ...Dès que l'on cherche des chiffres significatifs, c'est CETTE TRAQUE qui rend la physique intéressante ! SAKUMA trouva la meilleure méthode en 1970 seulement. Les mesures actuelles sont dérivées de celle de SAKUMA, et on obtient 11 chiffres significatifs !!Voir l'article : métrologie de g , plus loin (niveau bac+2 ).

Le livre est : A.H.Cook, Gravity and the Earth, ed Wykeham , 1969 , ISBN 85 109 070 2

[modifier] A quoi est due la pesanteur ?

Bonne question !

La pesanteur est essentiellement due à l'attraction terrestre et partiellement au pivotement de la Terre ( et encore un peu à tous les Astres, mais usuellement, on met cette partie dans "l'action de marée" ).

Il est hors de question dans cette première leçon de parler de la gravimétrie.

Pour faire simple, on peut dire ceci : si la Terre était sphérique et ne pivotait pas, alors la pesanteur se réduirait à une attraction (verticale par définition), centrale ( c'est à dire dirigée vers le centre O de la Terre) de valeur : G.M / r² = g(r) (formule de Newton 1687 );

Cavendish(1731-1810) mesurera G en 1798 avec énormément de difficulté : G = 6.67 e-11 N.m²/kg² environ. On en déduit la valeur de la masse de la Terre si l'on connaît son rayon : M = ~6 e(24)kg . On retiendra que la masse_volumique de la Terre est intermédiaire entre celle de l'eau (1kg/L) et dix fois plus (10kg/L) , soit 5.5 kg/L . C'est évidemment une densité moyenne car la matière s'écrase sous la pression quand on s'enfonce dans les profondeurs du sol. L'étude des profondeurs de la Terre est passionnante, elle aussi.

Ceci dit, à quoi est due l'attraction de la Terre ? Newton, après y avoir réfléchi longtemps, déclara forfait. C'est la fameuse phrase qu'il faut retenir : hypotheses non fingo.

Il posait par là le fait qu'il lui importait déjà de partir de cette loi, dont il généralisa la portée, et d'en déduire toute les conséquences mathématiques. Il fondait ainsi une discipline : la mécanique dite "rationnelle" qui sera, pour des siècles et des siècles, la discipline-phare des sciences physiques. A part quelques modifications faites par Einstein , on lance encore les fusées aujourd'hui à partir de calculs faits en mécanique rationnelle (dite) classique.

Euler, Lagrange, Hamilton, Poincaré et des milliers d'autres poursuivront ces travaux.

[modifier] Retour

Rappel : la page de discussion contient pas mal de matériaux bibliographiques.

• Mécanique , enseignée via l'Histoire des Sciences