Mathématiques du traitement du signal/Formulaire
Ce formulaire regroupe des formules utiles.
Inégalités[modifier | modifier le wikicode]
Un poly de référence : Concentration-of-measure inequalities, Gabor Lugosi.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev[modifier | modifier le wikicode]
Inégalité de Markov[modifier | modifier le wikicode]
Soit une varianle aléatoire et un réel :
On peut en déduire que pour toute fonction mesurable monotone croissante à valeurs positives :
ce qui permet d'obtenir une généralisation de Chebychev (citée dans Concentration-of-measure inequalities, Lecture notes by Gabor Lugosi , March 7, 2005):
Le log itéré[modifier | modifier le wikicode]
Inégalité de Bonferroni[modifier | modifier le wikicode]
voir mathworld.wolfram.
Inégalité de Chernoff[modifier | modifier le wikicode]
Soit des réalisations d'une même variable aléatoire de variance . la somme de ces réalisations ; i.e.
Alors, pour tout , on a:
Inégalité d'Efron-Stein[modifier | modifier le wikicode]
Soit 2N réalisations i.i.d. d'une variable aléatoire réelle et une fonction mesurable. On note :
Alors:
Cité par : Concentration inequalities using the entropy method, BOUCHERON, S., LUGOSI, G., MASSART, P. (2003), Ann. of Probability 31 n°3, 1583-1614.
et en notant :
Cité par An application of the Efron-Stein inequality in density estimation, Luc Devroye, Annals of Statistics, vol. 15, pp. 1317-1320, 1987.
Elle est utilisée par exemple pour obtenir les résultats du Bootstrap et Jackknife The Jackknife and Bootstrap, by Jun Shao, p28.
Inégalité de Kolmogorov[modifier | modifier le wikicode]
Soit des réalisations i.i.d. d'une même variable aléatoire d'espérance nulle. la somme de ces réalisations ; i.e.
Alors, pour tout :
Inégalité de Vapink Chervonenkis[modifier | modifier le wikicode]
Inégalité de Burkholder-Rosenthal[modifier | modifier le wikicode]
Approximations[modifier | modifier le wikicode]
Distribution Gaussienne[modifier | modifier le wikicode]
Il y a dans Hull (Options, Futures and Other Derivatives, Fifth Edition ; John C. Hull), page 248, une approximation de la fonction de répartition d'une distribution gaussienne assez pratique : et ; avec :