Le produit scalaire associe à deux vecteurs d'un espace vectoriel un scalaire en vérifiant un certain nombre de propriétés de linéarité et de symétrie (voir produit scalaire )
...à faire...
⋆
{\displaystyle \star }
E
=
R
[
X
]
{\displaystyle E=\mathbb {R} [X]}
Montrer que l'application
E
×
E
⟶
R
,
(
P
,
Q
)
⟼
(
P
|
Q
)
=
∫
−
1
1
P
~
(
t
)
Q
~
(
t
)
1
−
t
2
d
t
{\displaystyle E\times E\longrightarrow \mathbb {R} ,\ (P,Q)\longmapsto (P|Q)=\int _{-1}^{1}{{{\tilde {P}}(t)\,{\tilde {Q}}(t)} \over {\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
(
R
[
X
]
,
(
.
|
.
)
)
{\displaystyle (\mathbb {R} [X],(.|.))}
(
T
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
∀
n
∈
N
,
∀
θ
∈
R
,
T
n
(
c
o
s
θ
)
=
c
o
s
(
n
θ
)
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\forall \theta \in \mathbb {R} ,\,T_{n}(cos\,\theta )=cos(n\,\theta )}
Montrer que la famille
(
T
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
⋆
{\displaystyle \star }
E
=
M
n
(
K
)
{\displaystyle E=\mathrm {M} _{n}(\mathbb {K} )}
Montrer que l'application
E
×
E
⟶
R
,
(
M
,
N
)
⟼
(
M
|
N
)
=
T
r
(
t
M
N
)
{\displaystyle E\times E\longrightarrow \mathbb {R} ,\ (M,N)\longmapsto (M|N)=Tr({}^{t}\!M\,N)}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
(
M
n
(
K
)
,
(
.
|
.
)
)
{\displaystyle (\mathrm {M} _{n}(\mathbb {K} ),(.|.))}
P
∈
G
L
n
(
K
)
{\displaystyle P\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {K} )}
u
{\displaystyle u}
∀
M
∈
E
,
u
(
M
)
=
P
−
1
M
P
{\displaystyle \forall M\in E,u(M)=P^{-1}\,M\,P}
Quel est l'adjoint de
u
{\displaystyle u}
![{\displaystyle E=\mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28db729da4f0e79af92b117f745f5d76c2f12d8e)
![{\displaystyle (\mathbb {R} [X],(.|.))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2233fc8e8c42c6e8cbf92632537fa9006feeccc)
