Sommes (E-M)

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Exercices de mathématiques
Sommaire
  • Montrer que \sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)}=\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right).
Solution


\begin{align} & \sum\limits_{k=1}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)}+\sum\limits_{k=1}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k-1 \\ \end{matrix} \right)} \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)}=\left(\left( -1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)} \right)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left(-1 \right)^{k+1}\left( \begin{matrix} 2n \\ k \\ \end{matrix} \right)} \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)}=-1+\left(-1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right) \\ & \sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ k \\ \end{matrix} \right)=\left(-1 \right)^{n}\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)} \\ & \overline{\overline{\underline{\underline{\sum\limits_{k=0}^{n}{\left(-1 \right)^{k}\left( \begin{matrix} 2n+1 \\ n-k \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2n \\ n \\ \end{matrix} \right)}}}}} \\ \end{align}


 
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