Mathc initiation/a536
La transformée de Laplace changement d'échelle[modifier le wikicode]
Copier la bibliothèque dans votre répertoire de travail :
- x_afile.h ............. Déclaration des fichiers h
- x_def.h .............. Déclaration des utilitaires
- x_lt_dt.h ............ L'intégrale
F(a*t) <----> 1/a f(s/a) ? F(t) f(s)
(at) 1/a 1/(s/a)^2 a/s^2 t 1/s^2
(at)^2 1/a 2/(s/a)^3 a^2 2/s^3 t^2 2/s^3
(at)^3 1/a 6/(s/a)^4 a^3 6/s^4 t^3 6/s^4
(at)^4 1/a 24/(s/a)^5 a^4 24/s^5 t^4 24/s^5
(at)^n 1/a n!/(s/a)^(n+1) a^n n!/s^(n+1) t^n n!/s^(n+1)
sin(at) 1/a 1/((s/a)^2+1) a/(s^2+a^2) sin(t) 1/(s^2+1)
cos(at) 1/a (s/a)/((s/a)^2+1) s/(s^2+a^2) cos(t) s/(s^2+1)
sinh(at) 1/a 1/((s/a)^2-1) a/(s^2-a^2) sinh(t) 1/(s^2-1)
cosh(at) 1/a (s/a)/((s/a)^2-1) s/(s^2-a^2) cosh(t) s/(s^2-1)
exp(at) 1/a 1/((s/a)-1) 1/(s-a) exp(t) 1/(s-1)
Les fonctions :
Je vous propose de remplacer le nom du fichier fb.h par fc.h ... fj.h dans les fichiers c00a.c et c00b.c pour tester les exemples b, c ... j La transformée de Laplace changement d'échelle Présentation du problème : * Soit F(t) une fonction, et soit f(s) sa transformée de Laplace :
/+oo
|
L{F(t)} = | exp(-s t) F(t) dt = f(s)
|
/0
* La propriété de changement d'échelle de la transformée de Laplace nous permet d'écrire :
L{F(a*t)} = 1/a f(s/a)
* c00a.c * Nous obtenons donc :
/+oo
|
| exp(-s t) [F(a*t)] dt = 1/a f(s/a)
|
/0
* c00b.c * Conclusion :
Si nous connaissons f(s), la transformée de Laplace d'une fonction F, si nous souhaitons connaitre la transformée de Laplace d'un changement d'échelle "a", il suffit d'utiliser l'équation ci-dessus, sans passer par le calcul de l'intégrale.