Électrocinétique

Introduction

Notations utilisées

Sauf précisions, on utilisera les notations conventionnelles suivantes :

• Minuscules : u, i, p, … ou $u\,$, $i\,$, $p\,$, ... : grandeurs fonctions du temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t), …
• MAJUSCULES : U, I, U_moy, … ou $U\,$, $I\,$, $U_{moy}\,$, ...: grandeurs indépendantes du temps.
• Caractères soulignés : U, I, Z, … ou ${\underline {U}}\,$, ${\underline {I}}\,$, ${\underline {Z}}\,$, ... grandeurs complexes associées à des grandeurs sinusoïdales.
• Caractères fléchés : ${\vec {E}}\,$, ${\vec {B}}\,$, ... grandeurs vectorielles.

Définitions

Courant.

Définition.

Un courant électrique est une circulation de porteurs de charges électriques. L'intensité du courant électrique est la grandeur qui quantifie le débit de charge en un point du circuit.

$i={\frac {dq}{dt}}\,$ (I-1)

L'orientation du circuit en ce point fait que l'intensité est une grandeur algébrique (avec un signe). C'est une variable de flux.

Loi des intensités (loi des nœuds).

La somme de toutes les intensités des courants entrant dans une portion de circuit est nulle.

A.R.Q.S.

La loi qui précède ne peut être considérée comme exacte que dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS) : c'est-à-dire dans les cas où le produit de la dimension du circuit par la fréquence des intensités considérées est très inférieur à la célérité (vitesse) de la lumière.

Exemples

• Pour des fréquences de l'ordre de 1 MHz la dimension du circuit doit être très inférieure à 300 m soit quelques mètres.
• Pour la fréquence de 50 Hz la dimension du circuit doit être très inférieure à 6000 km. Pour l'étude des lignes on se limite à une centaine de kilomètres.

Tension ou d.d.p.

Définition.

C'est une variable d'effort. Pour obtenir une circulation de courant dans un circuit, il faut qu'au moins deux points de ce circuit soient à un instant donné à des potentiels différents. C'est une grandeur algébrique. Conventionnellement, on représente la tension $u_{AB}=v_{A}-v_{B}\,$ entre les points A et B du circuit par une flèche dirigée vers le point A (la première des deux lettres A et B).

Loi des tensions (loi des mailles).

La somme des tensions effectuée en parcourant une maille est nulle.

Dipôles

Définition.

C'est un élément d'un circuit électrique comportant deux bornes. Il impose une relation entre la tension $u\,$ à ses bornes et l'intensité du courant $i\,$ qui le traverse.

La fonction $f\,$ liant $u\,$ à $i\,$ : $u=f(i)\,$ imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle. Par extension ce terme désigne aussi la représentation graphique de cette fonction.

Conventions de fléchage.

• Convention récepteur : Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles s'opposant à la circulation du courant.

• Convention générateur : Le courant et la tension sont fléchés dans le même sens. Cela permet d'obtenir deux grandeurs positives pour des dipôles favorisant la circulation du courant.

Remarque : ces deux conventions existent du fait de la répugnance des anciens électriciens à utiliser les nombres négatifs.

Puissance électrique.

La puissance instantanée mise en jeu par un dipôle est :

$p=u\cdot i\,$ (I-2)

Cette puissance correspond

• à la puissance consommée lorsque $u\,$ et $i\,$ sont fléchés selon la convention récepteur
• à la puissance fournie lorsqu'ils sont fléchés avec la convention générateur.

Vocabulaire.

• Conducteur : partie du circuit
• Nœuds : connexion de plusieurs conducteurs

Les définitions suivantes sont extraites du décret du 14 novembre 1988 (88-1056), section I article 2,

• Circuit : ensemble de conducteurs et de matériels alimentés à partir de la même origine et protégés contre les surintensités par le ou les mêmes dispositifs de protection.
• Masse : partie conductrice d'un matériel électrique susceptible d'être touchée par une personne, qui pas normalement sous tension mais peut le devenir en cas de défaut d'isolement des parties actives de ce matériel.
• Point froid ou potentiel de référence : potentiel par rapport auquel on va mesurer les diverses tensions du circuit.
• Terre : masse conductrice de la terre, dont le potentiel électrique en chaque point est considéré comme égal à zéro.

Remarque : fréquemment les générateurs basse-fréquence qui alimentent les montages ont leur point froid relié à la masse elle-même reliée à la terre, d’où les confusions faites sur ces différents termes.

Dipôles Linéaires

Ce sont des dipôles pour lesquels la fonction $f\,$, telle que $u=f(i)\,$, est une fonction différentielle à coefficients constants. Exemples :

• $u=A\,$
• $u=A\cdot i\,$
• $u=A\cdot i+B{\frac {di}{dt}}\,$

Résistances ou conducteur ohmiques

Le problème du nommage est historique : le terme résistance est utilisé pour désigner indifféremment :

• Un dipôle utilisé pour produire de la chaleur. On utilise parfois le terme de résistance chauffante
• Un conducteur respectant idéalement la loi d'Ohm (voir ci après).
• La valeur du rapport de la tension par le courant pour les dipôle ci-dessus.

Dans ce cours, le mot résistance désignera un conducteur respectant parfaitement la loi d'Ohm

Équation caractéristique.

Pour une résistance $R\,$, on a :

$u=R\cdot i\,$ : loi d'Ohm (I-3)

Au cours du temps, tension et courant sont homothétiques (de même forme).

Puissance consommée

$p=R\cdot i^{2}={\frac {u^{2}}{R}}\,$ (I-4)

On constate que cette puissance est à chaque instant positive : la résistance est un élément dissipatif.

Précaution d'emploi

En régime établi, la résistance ne doit pas dissiper une puissance supérieure à $P_{max}\,$ dont la valeur est en général prescrite par le constructeur. On en déduit les valeurs maximales du courant et de la tension à ne pas dépasser à l'aide de la formule (I-4).

La puissance dissipée l'est sous forme de chaleur, et c'est souvent l'augmentation de température qui est responsable de la destruction du composant. Pour des durées limitées, il est parfois possible de dépasser $P_{max}\,$, mais cela dépend de l'inertie thermique de la résistance. En l'absence d'indication du constructeur, il est hasardeux de tenter sa chance !

Lois d'association

• En série : $R_{eq}=R_{1}+R_{2}\,$ (I-5)

• En parallèle:$R_{eq}=R_{1}.R_{2}/(R_{1}+R_{2})\,$ (I-6)

La conductance

La conductance d'une "résistance" est la grandeur $G\,$ telle que : $G={\frac {1}{R}}\,$ (I-7)

La relation (I-6) peut alors s’écrire : $G_{eq}=G_{1}+G_{2}\,$

Condensateurs

Équation caractéristique

Pour un condensateur on a :

$q=C\cdot u\,$, d'où ${\frac {dq}{dt}}=C\cdot {\frac {du}{dt}}\,$ (I-9)

$i=C{\frac {du}{dt}}\,$ (I-10)

L'équation (I-10) implique que la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité, cela correspondrait en effet à un courant d'intensité infinie, donc à une puissance infinie.

Puissance consommée.

L'équation (I-10) conduit à :

$p=u\cdot i=C\cdot u\cdot {\frac {du}{dt}}\,$

En utilisant la relation mathématique suivante :

${\frac {du^{2}}{dt}}=u\cdot {\frac {du}{dt}}+{\frac {du}{dt}}\cdot u=2u\cdot {\frac {du}{dt}}\,$ (I-11)

on obtient la relation :

$P={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot {\frac {du^{2}}{dt}}\,$ (I-12)

La puissance instantanée consommée par un condensateur est liée à la variation du carré de la tension à ses bornes : si celui ci augmente, le condensateur consomme de la puissance. Mais si le carré de la tension à ses bornes diminue alors le condensateur fourni de la puissance au reste du circuit.

L'énergie échangée entre 2 instants $t_{i}\,$ et $t_{f}\,$ vaut :

$W={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot (u_{Cf}^{2}-u_{Ci}^{2})\,$ (I-13)

Précaution d'emploi.

Il ne faut pas dépasser en valeur instantanée la valeur maximale de la tension prescrite par le constructeur. En cas de dépassement, même très bref, on risque de provoquer un claquage entraînant la destruction du composant. D'autre part les condensateurs électrochimiques sont polarisés : une tension inverse à leurs bornes provoque un dégagement gazeux qui peut conduire à une explosion.

Lois d'association

• En parallèle : (I-14)
• En série: (I-15)

Méthodes d'études des circuits

On utilise dans l'étude d'un réseau de conducteurs, générateurs ou récepteurs les méthodes suivantes:

• Les lois de Kirchhoff:

# Loi des nœuds.
# Loi des mailles.

• L'équivalence dite de Thévenin ou de Norton d'un dipôle linéaire.
• L'étude des potentiels et des intensités dans chaque partie du réseau électrique.
• La manipulation des fils électriques.

Quelques exercices de calculs de résistances

Ces exercices sont tous tirés d'examens ou concours posés en Bac +1. Ils n'ont aucune prétention d'originalité ; mais ils peuvent servir un élève autodidacte.

Jeu des résistances du CNDP

le CNDP propose (http://www.cndp.fr/archivage/valid/36320/36320-7044-7011.pdf )de trouver, avec 5 résistances égales à 10 ohms, l'ensemble des valeurs possibles de la résistance équivalente et donne comme valeur maximale : 50 (en série),valeur minimale 2 (en parallèle). Trouver les autres valeurs possibles : 40, 30 , 20 et 10 sont évidentes ainsi que 10/2 , 10/3 10/4 et donc 10/5 = 2 mais il y en a bien d'autres : exemple :3 en série + 2 en parallèle donne : 35. À vous de "jouer" [conseil : procéder avec 2, puis 3 , etc. pour ne pas oublier des montages !]

Solution : 1R = 10 2R = 20 et 5 3R = 30 et 10/3 , et 15 ; et 20/3 4R = rajouter en série ou en parallèle sur les 4 précédents : 40 et 30/4 ; 10 + 10/3 et 10/4 ; 10+15=25 et 10//15 = 6 , et 10 + 10/3(déjà vu, donc non compté) et 5+5=10; 10+20/3 et 10/4 et 5//20 = 4

5R = procéder de même, en étant plus attentif : sans cycle : 50 , 35 , 10/3+20 , 10/4 + 10 , 2*10/2 +10 , 10/3 + 10/2 ; avec cycle : cycle de 3 : 20 + 10//20 ; 10//10 + 10//20 ; 10 + 5//20 et 10 + 10//15 ; et les 5 dans le triangle : (2*5)//10 = 5 ou 5//15 = 15/4 et 10/3 //20 ou 10 // ( 10+10/3)

cycle de 4 : 10 + 20//20 ; 5//30 , 15//20 , 10 // 25 et enfin ne pas oublier le carré ABCD et sa diagonale AC  : R(AC)=10 // 20 //20 puis R(AB)= 10// ( 10 + 10//20) et ne pas oublier R(BD) qui donne un résultat simple grâce à l'antisymétrie électrique ( Va = Vc donc aucun courant Iac=0 )et donc R(BD) = 20//20

Il y a donc un doublet de valeur 5 ; une triplette de valeur 10 ; un doublet de valeur 20. Et les 30 autres valeurs singulets.

On conçoit qu'avec 6 résistances, l'exercice devient plus délicat ( ne pas oublier la configuration tétraédrique ! ).

le rectangle et sa diagonale

Un rectangle ABCD et sa diagonale AC de résistance c , le grand côté AB de résistance b et le petit côté AD de résistance a . La résistance R(AC) vaut bien sûr : c // [(a+b)/2]. Trouver R(BD) = f(a,b,c) et regarder la pertinence du résultat.

Solution : $f(a,b,c)={\frac {(a+b)c+2ab}{2c+a+b}}$

résultat pertinent: a et b jouent des rôles identiques; puis en fonction de c : fonction homographique croissante qui pour c=0 est pertinente, ainsi que pour c = infini remarque : réciproquement, le fait de savoir que R(BD) était une fonction homographique de c , ET la symétrie du montage, ET les deux remarques précédentes donnent cet unique résultat !

correction : il convient d'utiliser l'antisymétrie par rapport au point O , centre du rectangle ; cela donne comme courants : i sur chaque petit côté et j sur chaque grand , et i-j sur la diagonale ; en suivant deux chemins : U = V(B)-V(D) = 2a i + c (i-j) = b j + a i . On résout en i et j en fonction de U ; puis I = i + j donne U/R d'où R.

Une solution plus rapide (mais plus élaborée) est de trouver par la loi des nœuds-Millman que : $V_{C}=V_{B}\cdot {\frac {\alpha -\beta }{2\gamma +\alpha +\beta }}$ puis écrire que $I=V_{B}(\alpha +\beta )-V_{C}(\alpha -\beta )\,{\stackrel {\text{apres calcul}}{=}}\,2V_{B}{\frac {(\alpha +\beta )\gamma +2\alpha \beta }{2\gamma +\alpha +\beta }}$, ce qui donne G = 1/R.[On réfléchira à la superbe dualité du problème et donc du résultat ! ]

Le problème du carré divisé en 4 carrés identiques

chaque petit côté a une résistance identique, r . On appelle les points

A1 A2 A3

B1 B2 B3

C1 C2 C3

On demande toutes les valeurs possibles des résistances entre ces C(9,2)= 36 choix de bi-points. (Conseil : on utilisera la méthode de superposition, en remarquant que 2 cas suffisent à tout exprimer : le diagramme électrique de R(A1B2) et celui de R (A2B2).

Solution :

• Diagramme A1B2 : immédiat, par symétrie , + R série et parallèle :

21===9===6

.9===0===3

.6===3===3

d'où la carte des courants et I = 12+ 12 = 24 donc R = 21/24 = 7/8.

• Diagramme A2B2 : immédiat par symétrie aussi , + R série et parallèle :

9===14===9

4=== 0===4

3=== 2===3

d'où la carte des courants et I = 14+5+5 = 14 + 4+4 + 2 = 24 donc R = 14/24 = 7/12 , plus petite (assez naturel!).

• Il reste 28 choix possibles ; prenons les 8 cas , type A1A2 : c'est évidemment la superposition de D1-D2 , soit D3:

12===-5===-3

.5===.0===-1

.3===.1===.0

et sa carte de courants et I = 17+7 = 24 et U = 12-(-5) = 17 soit : R = 17/24 = 1 // (17/7) = 1 // (1 + 10/7) (on reverra apparaître cette résistance de 10/7) . Bien sûr, la décomposition précédente fait comprendre pourquoi V(B2) = V(C3), qui,sinon, pourrait intriguer.

• Il reste 20 cas ; prenons les 8 cas, type A1B3 : superposition de D1 et - droite(90)°D2 :

18===5===-3

.7===0===-11

.3===-1===-6

et sa carte de courants : I = 13+ 11 = 11 + 5 +7 = 24 et U = 29 soit R = 29/24

• Il reste 12 cas ; prenons les 4 cas , type A1C1 : superposition de D1 - gauche(90)°D1 :

.15===.6===.3

..0===.0===.0

-15===-6===-3

La symétrie était évidente ; I = 15 + 9 = 24 et U = 30 soit R = 30/24

• Il reste 8 cas ; prenons les 4 cas, type A2B1 : superposition de D2- gauche(90)°D2 :

0===10===6

====.0===2

=========0

et symétrie évidente ; d'où le courant I = 10 +10 + 4 = 24 et U = 20 , donc R = 20/24 = 2// (10/7) et parlons de ce 10/7 : le raisonnement est bien 2 * ( 1//(2+1/2) = 2* (1//5/2) = 2*5/7 =10/7 . Une erreur malencontreuse consiste à "ouvrir la croix en O" et dire [2//2 +1]*2 = 4 FAUX : cela correspond à un mauvais dessin de symétrie des courants arrivant sur le point B2.

• Il reste 4 cas ; prenons les 2 cas, type A2C2 : superposition de D2 - gauche(180)°D2

Le lecteur aura compris que I = 6 + 6 + 12 = 24 et U = (14-2)*2 = 24 et R = 24/24 (évident 2//4//4 !)

• Il reste 2 cas , type A1C3 : superposition de D1 - gauche(180)°D1 :

Le lecteur verra de lui-même : I = 12 + 12 et U =(21-3)*2 = 36 soit R = 36/24 = 1+(1//1)]*2 ]/2 = 3/2 , intuitivement la plus grande!

Le rectangle de 6 carrés identiques

Cette fois, on a :

A1 == A2 == A3 == A4

B1 == B2 == B3 == B4

C1 == C2 == C3 == C4

On demande de trouver que la résistance R(A1C4) vaut r * 121/(37+32) , en précisant, pour aider, que U(A1A2)= 37 V et que U(A1B1)= 32 V

solution :

la solution existe et est unique : nous donnons la carte des potentiels en rouge:

121 -- 84 -- 60 -- 46

.89 -- 71 -- 50 -- 32

.75 -- 61-- 37-- 00

On remarquera immédiatement la symétrie centrale de potentiel (71+50)/2 = 60.5

• Il est facile (et instructif) de tracer la carte des courants en bleu.

  37    24   14

32 15 10 14

  18    21   18

14 10 15 32

  14    24   37

On remarquera que tout nœud donne la loi des nœuds-Millman ( au fond, la loi du Laplacien-discret, qui est nul ici ).

On remarquera que tout cut-set sur la carte des courants redonne bien : courant sortant identiquement nul.

On pourra enfin vérifier la loi de puissance de Tellegen.

Correction :

évidemment, tout élève demande : mais comment faire pour trouver ?

La solution était "aidée" : En effet la symétrie permet d'avoir, en choisissant V(C4) = 0, V(B4) = 32 et V(C3) = 37 ; donc le courant de sortie I = 37/r + 32/r = 69 / r . Si on trouve V(A1), c'est gagné !

Voici une correction ( parmi d'autres... ) : prendre les trois inconnues V(A3) = x et V(C2) = y et V(B3) = z ; on aura alors V(A1) = x+y ! Et il reste à trouver x+y !

On propose d'écrire les 3 équations de nœuds-Millman en C3 : y + z = 3*37 = 111 ; en B4 : 2x + 4z = 320 ; en B3 ( tenir compte de V(B2)= x+y-z ! ) : (x+y-z)+ x + 32 + 37 = 4z soit 2x + y - 5z = -69 .

Ce qui donne en éliminant x, puis y : -y + 9z = 389 donc 10z = 389 +111 = 500 ,

soit z = 50 , puis y = 61 et x= 60 donc V(A1)= x+y = 121 .

Sans aide, pas d'autre solution qu'avec 4 eq lin à 4 inconnues, qu'un logiciel genre Scilab résout vite.(Y.Rocard suggère de prendre simplement 4 trajets différents de A1 à C4 , évidemment en tenant compte de la symétrie).

Une solution astucieuse permet de n'avoir que 3 eq-lin_à_3-inc ; elle consiste à injecter symétriquement le courant en A1 et A4 et le faire sortir symétriquement en C1 et C4 ce qui donne le diagramme D1 , puis construire le diagramme D2 avec entrée en A1 et C1 , sortie en A4 et C4 : ceci donne :

2 1 1 2

0 0 0 0

-2 -1 -1 -2

de résistance 2/3*r ; puis :

25 8 -8 -25

19 7 -7 -19

25 8 -8 -25 ( assez facile à trouver, 3 eq lin à 3 inc )

et l'on retrouve bien R1 + R2 = 2/3 + 25/23 = 121/69, en superposant 23 D1 union 3 D2 .cqfd.

¤=¤ Remarque : Y.Rocard fait remarquer que la résistance 121/69 (=~1.7536 r ) est proche de 119/70 = 17/10  : en effet, si l'on shunte A2 et B1 , et puis A3 B2 C1 , etc , on obtient une résistance légèrement inférieure de 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/4 + 1/2 = 17/10 r.

Suivant le même type de remarque, en shuntant le segment A3 C2, on ne devrait abaisser la résistance que de peu : de fait, le calcul donne R = 128/73 (= 1.7534 r ). ¤=¤

• Reste enfin la question souvent posée : on donne le circuit : diriez-vous V(B1) supérieur ou inférieur à V(A2)? Il convient d'"éduquer son raisonnement" contre une "intuition spontanée démunie".

L'idée est de deviner les équi-V : si vous repérez que V(C2) > V(A3) , vous aurez gagné par "continuité". Or cela est assez raisonnable : si les sondes étaient placées en B1 et B4, la symétrie donne la médiane comme ligne neutre. Si on déplace les deux sondes symétriquement vers A1 et C4 , il paraît assez raisonnable de dire que la ligne neutre va se déplacer en sens des aiguilles de montre, "un peu" seulement; "donc" V(C2)> V(A3). Il est instructif sur le diagramme des tensions de dessiner les équipotentielles. Cela éduque l'intuition.

Problème des 9 carrés

Cette fois on demande la résistance entre A1 et D4 pour 9 petits carrés ; on prendra bien garde à la réponse fausse : (1 + 1//3 + 1 )*2/2 = 11/4 (dire pourquoi c'est faux !). Et avec 16 carrés ?

solution :

Il vaut mieux trouver les courants C1D1= C1C2 = 2 ; B1B2 = B2C2 = 3 ; B1C1 = 4 ; A1B1 = 7 d'où la carte des potentiels :

13===6===2===0

.6====3===0

2===0

0

et la résistance R = 13/7

• Voici la carte entre A1 et B2 : R = 97/112

97===41===26===22

41===.0===15===18

26===15===16===17

22===18===17===17

• La carte entre A1 et C3 est : R = 145/112

145===89===58===46

.89===64===39===34

.58===39===.O===17

.46===34===17===17

• À titre indicatif entre B2 et C3 : R = 80/112
• 5 cartes pour déterminer 53 valeurs parmi 120 cas (à vérifier ...)

---

• À titre indicatif , voici la carte des 16 carrés

47===25===12===4===0

25===16===.7===0

12===.7===0

.4===.0

.0

de résistance 47/22 r ( ~ 2.136), de minorant 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 = 2.08 , de majorant : 1 + 3//(1 + 2// 1 + 1// (1+1)) = 73/34 (~2.147)

La Carte électrique entre A1 et E1 se trouve aisément à partir du diagramme précédent D1 : fabriquons D == D1 + droite(90) D1 ; puis D' = deux courants arrivant par une diagonale et sortant par l'autre de diagramme aisé, ci-contre :

5===2===0===-2===-5

2===1===O

0 +symétries

On en déduit D + D' :

251===131===72===43===31

107===.70===42===26===19

000000000000000000000000

+symétrie

de résistance (47/44 + 5/6)/2 *2 = 251/132 ( ~1.9015)

• La carte entre A1 et le centre C3 s'établit par superposition aussi [introduire D" où tous les courants arrivent par les coins et sortent au milieu] : il vient R = 1/4[47/22 + 5/6 + 21/10] = 1673/1320

1673==1013==822==478==418

1013==.724==435==374==358

.822==.435==.0.==225==282

.478==.374==225==244==263

.418==.358==282==263==263

• On vérifiera la carte 5*5 :

1171==676==380==186==.62==.0.

======477==278==116==.0.

===========139==.0.

+symétrie R5 = 1171/495

• La carte 6*6 est (?) :

6385==3891==2392==1384==.684==228==.0.

======2896==1901==1076==.440==.0.

============1240==.579==.0..

+symétries de R6 = 6385/2494

• On note pour mémoire
• R7 = 982371/360161 =~ 2,728
• R8 = 441083/153254 =~ 2,878
• R9 = 427854195/142065451 =~3?011
• R10 = 3,1325769805
• R12 = 3,344669725816 ( ref JFL)
• Certes Rn tend vers l'infini comme un A*Ln (n) (on peut minorer et majorer comme on l'a vu ), mais nous n'avons aucune indication sur le numérateur Nn ou le dénominateur Dn. Peut-être faudrait-il chercher du côté de 4 , 16 , 64 , 256 ,etc. carrés ???

Le treillis de 4 triangles

Cette fois on demande R(AF)= r* 15/11 :

A   B   C
  D   E   F

solution : noter l'antisymétrie, puis : loi des nœuds_Millman en D donne : Vd*3 = Va*1 + Vb*1 +Ve*1 or Ve=-Vb donc Vd= Va/3. On démontre de même que Vb = Va/5 D'où I = Va ( 1-1/3) + Va(1-1/5) = 2Va ( 11/15), cqfd.

Maintenant, on remplace la conductance entre B et E par une conductance G. Montrer que la conductance entre A et F devient : Y = f(G) = 5/6 - 1/(6+4G).

¤ Note ,de niveau plus élevé : Remarquer que f(G) est bien une homographie concave et les valeurs particulières f(0)=2/3 ; f(infty)=5/6 ; f(-6/5)=0 et f(-3/2)=infty s'interprètent directement.[ les deux derniers cas font intervenir une conductance G négative ! ce qui est théoriquement réalisable en électronique ; on parle d'antirésonance du circuit, et de résonance ]

Problème de 2n(2n+1)carrés (***difficile)

un rectangle ABCD séparé en 2n-1 barres verticales et 2n-2 horizontales, formant donc 2n(2n+1) petits carreaux On shunte AD par une électrode , de même BC : la résistance R entre les deux électrodes est évidemment : R = (2n+1)r /(2n+1) = r . On supprime la résistance horizontale centrale , appelée EF : la résistance augmente évidemment ; de combien ? [Commencer modestement par n=1 : ; Puis par n très grand (méthode de perturbation):r(1 + 2/n²) ; indication dans le chapitre "dualité" : on remarquera cette dualité pour évaluer Z(entrée) quand R(EF) est quelconque, disons R ]

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solution (qui n'est pas le corrigé !) : $Z_{(entree)}/r={\frac {R/r\cdot (n^{2}+1)+(n^{2}-1)}{R/r\cdot (n^{2}-1)+(n^{2}+1)}}$

Problème des n petits carrés en ligne(** assez difficile)

A1 A2 A3 A4 ...

B1 B2 B3 B4 ...

on demande R(A1Bn)

Problème du "pont de Wheatstone"

6 résistances forment un tétraèdre ABCD ; on place un générateur E dans la branche AB , on demande le courant dans la branche CD : la réponse est très simple à retenir, du fait de la symétrie tétraédrique : $i=E\cdot {\frac {R1R4-R2R3}{S_{16}}}$, où S16 == somme des 16 triplets des six résistances que forment les 20 triplets sauf les 4 triplets_cutsets de chacun des 4 sommets_nœuds du tétraèdre.

Une page spéciale a été consacrée au pont de Wheatstone en raison de son importance pédagogique (historique):

Pour plus de détails voir : Pont de Wheatstone.

Causalité des filtres linéaires permanents

La causalité dans ce cas implique les relations de dispersion dites de Bayard-Bode , identiques à celles de Kramers-Kronig en électromagnétisme .

Une page spéciale y est consacrée ( elle est plus complète que celle intitulée : Relation de Dispersion): cette page considérée comme page-volante est "rapatriée" ici, ci-dessous :

Électrocinétique/Relation de causalité de Bayard-Bode :

• En Électrocinétique des filtres linéaires permanents, la causalité implique, sur la fonction de transfert G, complexe, analytique - c'est à dire que G($\omega$) = G*($-\omega$), des relations entre sa partie réelle R (paire)et sa partie imaginaire X (impaire), appelées : relations de Bayard-Bode(1945):

• ${\frac {\pi }{2}}\cdot [R(\omega )-R(\infty )]=-\int _{0}^{\infty }dw\cdot {\frac {w\cdot X(w)-\omega \cdot X(\omega )}{w^{2}-\omega ^{2}}}$

• ${\frac {\pi }{2}}\cdot [{\frac {X(\omega )}{\omega }}-0]=+\int _{0}^{\infty }dw\cdot {\frac {R(w)-R(\omega )}{w^{2}-\omega ^{2}}}$

• En Optique, le même genre de relations s'appellent : relations de Kramers-Kronig(1926) : si il y a dispersion, alors il y a absorption.
• En Physique théorique, la théorie de la matrice S ( S pour scattering) reprend ce thème.

Définition d'un filtre linéaire permanent

Un système de transmission électrique transforme un signal d'entrée réel e(t) en un signal de sortie réel s(t). Il est appelé filtre linéaire si la relation s(t) = L e(t) est linéaire :

• e(t) et s(t) peuvent être considérés comme éléments d'un espace_vectoriel (sur R )
• L(e1 + e2) = L(e1) + L(e2)
• L( k.e) = k. L(e)

Les physiciens appellent souvent cette définition : "principe de superposition" ( d' Helmholtz).Et L est appelé opérateur linéaire de l'espace des e(t) vers l'espace des s(t).

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Le système est dit permanent si il est invariant par choix de la date de départ :

si à e(t) correspond s(t) , alors à e(t-to) correspond s(t-to). Appelons l'opération de translation temporelle T(to)== T , on a donc : L[T(e(t))]= L(e(t-to)) = s(t-to) = T(s(t)) = T[L(e(t))] pour tout e(t) :soit L.T = T.L

on dit que l'opérateur L et le groupe des opérateurs T(to) commutent.

Rôle des entrées sinusoïdales

Un signal réel sinusoïdal d'amplitude A , de pulsation $\omega$, $E(t)=Acos(\omega t+\phi )=Re(Ae^{i\phi }\cdot e^{i\omega t})$ est dit d'amplitude complexe E = A exp i $\phi$. Ces signaux jouent un rôle très important à cause du théorème de Fourier : tout signal périodique peut se décomposer en une SOMME de signaux sinusoïdaux des harmoniques de la pulsation.

On raisonne désormais avec les amplitudes complexes de signaux de pulsation $\omega$

Fonction de Transfert G($\omega$)

Considérons donc les fonctions $E(t)=Ae^{i\phi }\cdot e^{i\omega t}$, dites de pulsation $\omega$

La propriété capitale de l'exponentielle est que : E(t-t2) = T(t2)E(t) = exp(-i $\omega t_{2}$). E(t) = [E(-t2)].E(t) !

Autrement dit, les fonctions E(t) sont fonctions propres des opérateurs T(to)avec pour valeur propre E(-to).

Comme L et le groupe T(to) commute , on se doute que E(t) sera fonction propre de L . En effet,

S(t + t2) = L ( E(t+t2)) = E(t) . L(E(t2) : gardant t2 fixe , on voit que S(t) est donc fonction sinusoïdale proportionnelle à E(t) au coefficient L(E(t2)) pris en t2=0 , appelé G($\omega$)

Soit encore : S(t) == L ( E(t) ) = G($\omega$). E(t)

G($\omega )$ s'appelle la fonction de transfert complexe.

Pour des raisons de causalité , elle va jouir de propriétés particulières, ce qui est l'objet de l'article.

Un exemple simple, le filtre passe-bas RC

l'équation s(t) = L e(t) est celle du "potentiomètre R et 1/Cp " soit : RC s'(t) + s(t) = e(t).

Soit avec les fonctions E(t) et S(t) :

[RC i$\omega$ + 1 ]S(t) = E(t)

soit $G(\omega )={\frac {1}{1+RCp}}$ en notant p == i$\omega$

{Remarque sur la notation : certains auteurs préfèrent noter G(p)==G( i$\omega$), ceci étant souvent lié à la notation utilisée en Automatique et à la Transformée de Laplace ; ici on essaiera de travailler avec la Transformée de Fourier, plus accessible à ceux qui connaissent mal la théorie des fonctions analytiques}.

|G|^2 s'appelle spectre de puissance ; |G| spectre d'amplitude ; arg G = déphasage : tracées en diagramme log-log , les graphes s'appellent diagrammes de Bode du filtre.(tracer les figures)

Dans le cas précis , on voit qu'aux hautes fréquences |G| est tout petit (et phi = -Pi/2) ; aux basses fréquences , G est voisin de 1 : le circuit est dit passe-bas . On peut même aux basses fréquences introduire une petite remarque supplémentaire : 1/(1+ RCp) =~ 1- RCp , c'à d que à e(t) correspond une sortie s(t) voisine de e(t-RC) : le circuit se comporte comme un fidèle transducteur du signal d'entrée, MAIS avec un léger retard RC.

• la causalité :

Elle implique "raisonnablement" que le signal de sortie s(t) ne puisse pas "précéder" l'entrée e(t). Pour être plus précis, appelons Y(t) la fonction de Heaviside : nulle pour t négatif, égale à 1 pour t positif ( en réalité exp-t/$\tau$, mais avec $\tau$ immensément grand devant les échelles de temps t à considérer ).

• On ne considérera que les systèmes d'entrée "à support positif" : e(t) = Y(t).e(t).
• causalité-électrocinétique veut dire : si e(t) = Y(t).e(t), alors s(t) = Y(t).s(t)
• On ne veut pas entrer ici dans des discussions philosophiques sur la causalité en philosophie. La causalité-électrocinétique est ici simplement un mot pour traduire l'implication-mathématique précédente (que sa véracité soit contredite expérimentalement est un autre problème).

Vérification des relations de Bayard-Bode

Afin de nous préparer aux calculs ultérieurs, vérifions ici les deux relations de Bayard-Bode :

Appelons R($\omega$) + i X($\omega$ = G($\omega$), les parties réelle et imaginaire

Les relations lient de manière non locale en fréquence , les variations de R et de X :

• ${\frac {\pi }{2}}\cdot [R(\omega )-R(\infty )]=-\int _{0}^{\infty }dw\cdot {\frac {w\cdot X(w)-\omega \cdot X(\omega )}{w^{2}-\omega ^{2}}}$

• ${\frac {\pi }{2}}\cdot [{\frac {X(\omega )}{\omega }}-0]=+\int _{0}^{\infty }dw\cdot {\frac {R(w)-R(\omega )}{w^{2}-\omega ^{2}}}$

Nous démontrerons ces formules un peu plus loin ; remarquons simplement ici l'HOMOGENEITE et le fait que R est paire et X est impaire.

Vérifions la seconde dans le cas présent : R = 1/D avec D($\omega$) = 1 + (RC$\omega$)^2 et X = -RC$\omega$/D Donc l'intégrandum vaut après simplification : - 1/D(w) . 1/D($\omega$) et l'intégrale de 1/D(w) donne bien : RC. $\pi$/2.

On laisse au lecteur la vérification de la première égalité de Bayard-Bode.

Autre écriture des relations de Bayard-Bode

Souvent en électrocinétique, on préfère travailler avec l'amplitude et la phase . On raisonne alors sur Ln G = Ln A +i $\phi$.

On obtient alors, par exemple, $\phi (\omega )$ en fonction de (Ln A) via la formule :

$\phi (\omega )={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dA(w)}{A(w)}}\cdot Ln|{\frac {w+\omega }{w-\omega }}|$

Bibliographie

• Jackson : Électrodynamique classique, Dunod(2001)
• Bode : Network analysis and feedback Amplifier, VanNostrand ( 1945).
• Arnal : signaux et circuits, Dunod(1970)
• Hassani : mathematical physics , Springer (2000)
• Greiner : Classical electrodynamics,p393 , Springer (1998)

Faire-part

juste pour potache (il faut bien sourire un peu !) :

• Vous êtes prié de venir assister aux obsèques de ce bon ohm d'Ampère, décédé ce matin. Un cheval(-vapeur) étalon ( 735 W quand même) , effrayé par un arbre (de transmission), l'a jeté dans un champ (magnétique) alors qu'il faisait du vélo sur un cycle ( d'hystérésis),les freins ( de Prony) ont lâché, et le cadre mobile s'est pris dans les rayons (cathodiques).
• Transporté dans sa chambre (de Faraday), il est mort en aimant et ampère : ses dernières paroles furent pour sa f.e.m et ses gauss ;
• L'enterrement aura lieu demain à Laplace indiquée sur le plan ( d'épreuve) ; on ne pourra ampèremètre l'entrée qu'aux potaches munis d'une carte ( d'isogones). Pour éviter tout point critique, le convoi fera un court-circuit par le pont de Wheatstone.
• Vous pourrez serrer la pince ( de Mohr (sic!)) à sa f.e.m et ses gauss et vous charger (d'âme) afin d'envoyer le potentiel.