Définitions
Soit
un corps. Soient alors
et
deux
-espaces vectoriels.
Application linéaire
L'application
est dite linéaire si et seulement si
et
On note
l'ensemble des applications linéaires de
vers
.
Endomorphisme
Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.
L'ensemble des endomorphismes de
se note
.
Isomorphisme
Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :
Autrement dit, tout élément
de
admet un antécédent et un seul dans
par
.
Automorphisme
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Forme linéaire
Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps
(généralement,
ou
). Une forme linéaire est donc une application linéaire de
.
Noyau et Image d'une application linéaire
Noyau
Soit
une application linéaire de
dans
. Le noyau de
, noté
, est l'ensemble des éléments de
dont l'image par
est l'élément nul de
. On écrit :
Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ :
est un sev de
.
Image
L'image d'une application linéaire
de
dans
, noté
, est l'ensemble des éléments de
ayant un antécédent par
dans
. On écrit :
L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée :
est un sev de
.
Théorème du rang
Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :