Algèbre linéaire/Application linéaire
Définitions
[modifier | modifier le wikicode]Soit un corps. Soient alors et deux -espaces vectoriels.
Application linéaire
[modifier | modifier le wikicode]L'application est dite linéaire si et seulement si
et
On note l'ensemble des applications linéaires de vers .
Endomorphisme
[modifier | modifier le wikicode]Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.
L'ensemble des endomorphismes de se note .
Isomorphisme
[modifier | modifier le wikicode]Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :
Autrement dit, tout élément de admet un antécédent et un seul dans par .
Automorphisme
[modifier | modifier le wikicode]Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
Forme linéaire
[modifier | modifier le wikicode]Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps (généralement, ou ). Une forme linéaire est donc une application linéaire de .
Noyau et Image d'une application linéaire
[modifier | modifier le wikicode]Noyau
[modifier | modifier le wikicode]Soit une application linéaire de dans . Le noyau de , noté , est l'ensemble des éléments de dont l'image par est l'élément nul de . On écrit :
Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : est un sev de .
Image
[modifier | modifier le wikicode]L'image d'une application linéaire de dans , noté , est l'ensemble des éléments de ayant un antécédent par dans . On écrit :
L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : est un sev de .
Théorème du rang
[modifier | modifier le wikicode]Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :
