Algèbre linéaire/Application linéaire

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Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soit un corps. Soient alors et deux -espaces vectoriels.

Application linéaire[modifier | modifier le wikicode]

L'application est dite linéaire si et seulement si

et

On note l'ensemble des applications linéaires de vers .

Endomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

Un endomorphisme est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est égal à l'ensemble de départ.

L'ensemble des endomorphismes de se note .

Isomorphisme[modifier | modifier le wikicode]

Un isomorphisme est une application linéaire bijective. Cela se traduit par :

Autrement dit, tout élément de admet un antécédent et un seul dans par .

Automorphisme[modifier | modifier le wikicode]

Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

Forme linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Une forme linéaire est une application linéaire dont l'ensemble d'arrivée est le corps (généralement, ou ). Une forme linéaire est donc une application linéaire de .

Noyau et Image d'une application linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Noyau[modifier | modifier le wikicode]

Soit une application linéaire de dans . Le noyau de , noté , est l'ensemble des éléments de dont l'image par est l'élément nul de . On écrit :

Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace de départ : est un sev de .

Image[modifier | modifier le wikicode]

L'image d'une application linéaire de dans , noté , est l'ensemble des éléments de ayant un antécédent par dans . On écrit :

L'image d'une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivée : est un sev de .

Théorème du rang[modifier | modifier le wikicode]

Le théorème du rang lie la dimension de l'espace de départ d'une application linéaire aux dimensions du noyau et de l'image de cette application. On écrit :