Approfondissements de lycée/SE Infini et processus infinis

Infini et processus infinis

Ces solutions n'ont pas été écrites par l'auteur du reste de ce livre. Ce sont simplement les réponses que je pense être correctes pendant que je faisais les exercices. J'espère que ces réponses sont utiles pour quelqu'un et que mon travail sera corrigé s'il contient des fautes.

Quel est la taille de l'infini ? exercices

1. Le nombre de nombres pairs est le même que le nombres de nombres naturels parcequ'ils sont tous les deux infinis dénombrables. Vous pouvez voir la bijection. (P veut dire nombres Pairs et N veut dire nombres naturels)

P   N

2   1

4   2

6   3

8   4

2. Le nombre de nombres carrés est aussi égal au nombre de nombres naturels. Ils sont tous les deux infinis dénombrables et peuvent être mis en bijection. (C veut dire nombres Carrés et N veut dire nombres Naturels)

C   N

1   1

4   2

9   3

16   4

3. Le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 n'est pas égal au cardinal des nombres naturels inférieurs à 100. Vous pouvez simplement écrire les deux et compter les nombres. Alors, vous verrez que le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 est 49 et que le cardinal des nombres naturels inférieurs à 100 est 99. Ainsi, l'ensemble des nombres naturels inférieur à 100 est plus grand que l'ensemble des nombres pairs inférieurs à 100. La grande différence entre ensembles finis et infinis est qu'un ensemble fini ne peut pas être mis en bijection avec n'importe lequel de ses sous-ensembles. Alors qu'un ensemble infini peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles.
4. Chaque partie de la somme est renseignée ci-dessous

$\infty +1=\infty \,$

Vous pouvez démontrer ceci en prenant un ensemble de cardinal 1, par exemple, un ensemble constitué seulement du nombre 0. Vous additionnez simplement cet ensemble avec l'ensemble dénombrable infini pour mettre l'ensemble infini et l'ensemble infini+1 en bijection.

N   N+1

1   0

2   1

3   2

4   3

$\infty +A=\infty \,$ (où A est un ensemble fini)

Vous ajoutez simplement l'ensemble fini avec l'ensemble infini comme ci-dessus, à la différence que l'ensemble fini n'a pas besoin d'avoir le cardinal 1.

$\infty +C=\infty \,$ (où C est un ensemble dénombrable infini)

Vous prenez un article de chaque ensemble (infini ou C) alternativement, ceci fera une nouvelle liste infinie dénombrable également.

L'ensemble des nombres rationnels est-il plus grand que N ? exercices

1. Pour changer la matrice de Q' vers Q, la première étape dont vous avez besoin est d'enlever les entrées multiples d'un même nombre. Vous pouvez faire ceci en laissant un espace vide dans la table lorsque pgcd(nbhaut,nbbas)≠1 parceque lorsque le pgcd n'est pas 1, la fraction peut être simplifiée en divisant le nombre du haut et du bas par le pgcd. Ceci vous donnera la table suivante.

${\begin{matrix}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

Maintenant, nous avons seulement besoin d'ajouter zéro à la matrice et nous aurons terminé. Donc, nous ajoutons une ligne verticale pour zéro et nous écrivons l'élément le plus haut (0/1) (prendre le pgcd ne marche pas ici parceque pgcd(0,a)=a). Ceci nous donne la table suivante où nous avons compté toutes les fractions dans la ligne diagonale pour voir que $\mathbb {Q} \,$ est infini dénombrable.

${\begin{matrix}{\frac {0}{1}}&{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {2}{1}}&&{\frac {2}{3}}&\cdots \\&&\\&{\frac {3}{1}}&{\frac {3}{2}}&&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}$

2. Pour montrer que $\infty \times \infty =\infty$, vous devez faire une table où vous mettez un infini dans la ligne horizontale et un infini dans la ligne verticale. Maintenant, vous pouvez commencer le dénombrement des places dans la table de manière diagonale comme nous l'avons fait pour $\mathbb {Q'} \,$. Ceci marche parcequ'une table de taille AxB contient A*B places.

Exercices sur les limites

1. $\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}-4}{2x^{2}+x}}=\lim _{x\to \infty }\left({\frac {3x^{2}}{2x^{2}+x}}-{\frac {4}{2x^{2}+x}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}}{2x^{2}+x}}={\frac {3}{2}}$
2. $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-1}{2x^{3}+3}}=0$
3. $\lim _{x\to \infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{2}}}\cos x=0$
4. $\lim _{x\to \infty }(2x^{2}-x^{4})=\lim _{x\to \infty }x^{2}\times (2-x^{2})=-\infty$