Approfondissements de lycée/Infini et processus infinis

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Approfondissements de lycée

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Lorsque les enfants apprennent les nombres, ils sont intéressés par les plus gros, un million, un milliard, un billion. Ils peuvent même inventer leurs propres termes etc. Une des premières questions mathématiques qu'un enfant demande est "quel est le plus grand nombre ?" Ceci conduira souvent à une courte explication qu'il existe une infinité de nombres.

Mais il existe plusieurs types différents d'infinis - en fait, il existe une infinité de types d'infini ! Ce chapitre essaiera d'expliquer ce que ces sortes d'infinis représentent ainsi que leurs différences entre eux.

Ensembles infinis[modifier | modifier le wikicode]

Quelle grosseur a l'infini ?[modifier | modifier le wikicode]

L'infini est différent d'un nombre normal parce que, par définition, il n'est pas fini. En divisant l'infini par n'importe quel nombre positif (excepté l'infini), nous obtiendrons l'infini. Vous pouvez aussi le multiplier par n'importe quoi excepté zéro (ou l'infini) et il ne sera pas plus grand. Donc, regardons de plus près les différentes sortes d'infinis.

Un mathématicien nommé Georg Cantor créa une nouvelle branche des mathématiques appelée théorie des ensembles vers la fin du 19ème siècle. La théorie des ensembles implique des collections de nombres ou d'objets. Voici un ensemble :

Est-il de même taille que celui-ci ?

La notion de Cantor sur "la même taille" d'ensembles ne prend pas en considération si les nombres sont plus gros, mais s'il existe la même quantité d'objet à l'intérieur. Vous pouvez voir facilement ici qu'ils sont de même taille, parce que vous pouvez simplement compter le nombre d'éléments dans chaque ensemble. Mais avec un nombre infini d'éléments, vous ne pouvez pas, dans un temps fini, compter tous les éléments d'un ensemble pour voir s'il a le même nombre qu'un autre.

Pour décider si deux ensembles infinis ont le même nombre d'éléments, nous devons réfléchir avec précaution sur ce que nous faisons lorsque nous comptons. Pensons à deux enfants qui se partagent un sac de billes.

"Une pour toi, et une pour moi, deux pour toi et deux pour moi"

et ainsi de suite. Ils savent qu'ils auront tous les deux le même nombre de billes parce que la manière de partager l'effectuera. Même s'ils ne savent plus les nombres (s'il ne connaissent pas plus que trente, par exemple), ils pourrons encore se partager les billes avec le même procédé de "une autre pour toi et une autre pour moi".

Nous pouvons utiliser la même idée pour comparer les ensembles infinis. Si nous pouvons trouver une manière d'apparier un élément d'un ensemble A avec un élément d'un ensemble B, et s'il n'existe pas d'élément de A sans partenaire de B et vice versa, alors nous pouvons dire que les ensembles A et B ont le même nombre d'éléments.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'ensemble des nombres courants. est appelé l'ensemble des nombres naturels. 1,2,3,4,5,6, ... "jusqu'à" l'infini. Soit B, l'ensemble des nombres négatifs -1,-2,-3, ... ainsi de suite "jusqu'à" - l'infini. Les éléments de et B peuvent-ils être appariés ? La manières formelle de dire cela est "Peut-on mettre A et B en bijection ?"

Évidemment, la réponse est oui. 1 de l'ensemble correspond à -1 de B. Comme suit :

N   B
1   -1
2   -2
3   -3

et ainsi de suite.

L'ensemble des nombres naturels est si utile que tout ensemble qui peut être mis en bijection avec lui est dit infini dénombrable.

Regardons quelques exemples supplémentaires. L'ensemble des entiers est-il infini dénombrable ? Les entiers sont l'ensemble N, l'ensemble B et 0.

... -3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...

Historiquement, cet ensemble est généralement appelé . Noter que , l'ensemble des nombres naturels est un sous-ensemble de . Tous les éléments de sont dans , mais tous les éléments de ne sont pas dans .

Ce que nous avons besoin de savoir est si peut être mis en bijection avec . Notre première réponse, donnée par le fait que est un sous-ensemble de , serait non mais elle serait fausse ! En théorie des ensembles, l' ordre des éléments n'est pas important. Il n'y a pas de raisons pourquoi nous ne pourrions pas réarranger les éléments dans n'importe quel ordre tant que nous n'en omettons pas. présenté comme ci-dessus n'est pas très dénombrable, mais si nous le réécrivons comme 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, 4 ..... et ainsi de suite, nous pouvons voir qu'il est dénombrable.

Z   N
 0   1
-1   2
 1   3
-2   4

et ainsi de suite. Vraiment étrange ! Un sous-ensemble de (nommément les nombres naturels) possède le même nombre d'éléments que lui-même ? Les ensembles infinis ne sont pas comme les ensembles ordinaires. En fait, ceci est quelquefois utilisé comme une définition d'un ensemble infini. Un ensemble infini est tout ensemble qui peut être mis en bijection avec au moins un de ses sous-ensembles stricts. Plutôt que de dire "Le nombre d'éléments" d'un ensemble, on emploie quelquefois le mot cardinal ou valeur cardinale. et sont dits avoir le même cardinal.

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

  1. La quantité de nombres pairs est-elle la même que celle des nombres naturels ?
  2. Quel est la quantité des nombres carrés ?
  3. Le cardinal des nombres pairs inférieurs à 100 est-il égal au cardinal des nombres naturels inférieurs à 100 ? Quel est l'ensemble le plus grand ? Comment le savez-vous ? De quelles manières les ensembles finis diffèrent-ils des ensembles infinis ?
  4. En utilisant l'idée de bijection, démontrer que , qu'en est-il de où A est un ensemble fini ? qu'en est-il d' où C est un ensemble infini dénombrable ?

L'ensemble des nombres rationnels est plus grand que N ?[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce chapitre, nous regarderons si nous pouvons trouver un ensemble qui est plus grand que l'infini dénombrable que nous venons d'examiner. Pour illustrer cette idée, nous pouvons imaginer une histoire.

Il était une fois un criminel qui alla en prison. Ce n'était pas un bel endroit, le pauvre criminel rencontra donc le directeur de la prison et lui demanda sa liberté. Il répondit :

"Oh d'accord - Je pense à un nombre, chaque jour tu peux essayer de le deviner. Si c'est correct, tu peux partir."

Maintenant, la question est - le criminel peut-il sortir de lui même de la prison ? (réfléchir un peu avant de lire la suite)

Évidemment, cela dépend du nombre. Si le directeur de prison choisit un nombre naturel, alors le criminel suppose 1, le premier jour, 2, le deuxième jour et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il trouve le nombre correct. De même pour les entiers, 0 le premier jour, -1 le deuxième jour. 1 le troisième jour et ainsi de suite. Si le nombre est très grand, alors cela peut prendre un long moment pour sortir de prison mais il pourra le faire.

Ce dont à besoin le directeur de prison, c'est de choisir un ensemble qui n'est pas dénombrable de cette manière. Pensez à un axe gradué. Les entiers sont largement espacés. Il existe une quantité de nombres compris entre les entiers 0 et 5 par exemple. Donc, nous devons nous occuper d'ensemble plus denses. Le premier exemple qui vient en tête à la plupart des gens est celui des fractions. Il existe un nombre infini de fractions entre 0 et 1 donc assurément, il existe plus de fractions que d'entiers ? Est-il possible de dénombrer les fractions ? Imaginons cette possibilité un instant. Si nous essayons de dénombrer toutes les fractions entre 0 et 1 puis entre 1 et 2 et ainsi de suite, nous allons être bloqués parce que nous n'aurons jamais fini de compter celles qui précèdent 1 (il en existe une infinité). Mais cela veut-il dire qu'elles sont non-dénombrables ? Pensez à la situation avec les entiers. Les ordonner ...-2, -1, 0, 1, 2, ... les rendaient impossibles à dénombrer, mais les réordonner 0, -1, 1, -2, 2, ... permettait de les compter.

En fait, il existe une manière d'ordonner les fractions pour permettre de les dénombrer. Avant d'aller plus avant, revenons à un langage mathématique normal. Les mathématiciens utilisent le terme nombre rationnel pour définir ce que nous avons appelé fractions. Un nombre rationnel est n'importe quel nombre qui peut être écrit sous la forme p/q où p et q sont des nombres entiers. Ainsi, 3/4 est rationnel comme l'est -1/2, l'ensemble des nombres rationnels est généralement noté . Noter que est un sous-ensemble de parce que tout entier peut être divisé par 1, pour le rendre rationnel. C.a.d. le nombre 3 peut être écrit sous la forme p/q comme 3/1.

Maintenant, comme tous les nombre dans sont définis par deux nombres p et q, il est commode d'écrire sous la forme d'une table.

Noter que cette table n'est pas une représentation exacte de . Elle possède seulement les éléments positifs de et un nombres d'entrées multiples.(c.a.d. 1/1 et 2/2 sont le même nombre). Nous appelerons cet ensemble . Il est suffisamment simple de voir que si est dénombrable, alors l'est aussi.

Comment allons-nous faire pour dénombrer  ? Si nous essayons de dénombrer la première ligne puis la deuxième et ainsi de suite, nous échouerons parce que les lignes sont de longueurs infinies. De même, si nous essayons de compter les colonnes. Mais regardons les diagonales. Dans une direction, elles sont infinies (c.a.d. 1/1, 2/2, 3/3, ...) mais dans l'autre direction, elles sont finies. Donc, cet ensemble est dénombrable. Nous les comptons le long des diagonales finies, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1....

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

  1. Adapter la méthode de dénombrement de pour montrer que est aussi dénombrable. Comment inclurez-vous 0 et les rationnels négatifs ? Comment résoudrez-vous le problème des entrées multiples qui représentent le même nombre ?
  2. Montrer que (issu du fait que les infinis sont tous les deux dénombrables)

Pouvons-nous trouver des ensembles plus grands que N ?[modifier | modifier le wikicode]

Jusque là, nous avons examiné , , et et nous avons trouvé qu'ils avaient tous la même taille, bien que est un sous-ensemble de qui est un sous-ensemble de . Vous commencez à vous dire "C'est ainsi ? Tous les infinis sont de même taille ?" Dans ce chapitre, nous verrons qu'un ensemble est plus grand que . Un ensemble qui ne peut pas être mis en bijection avec , quelle que soit la manière dont il est disposé.

L'ensemble en question est l'ensemble des nombres réels . Un nombre réel est n'importe quel nombre d'un axe gradué qui n'est pas dans . Rappelez-vous que l'ensemble contient tous les nombres qui peuvent être écrits sous la forme p/q avec p et q rationnels. La plupart des nombres ne peuvent jamais être mis sous cette forme. Voici des exemples de nombres irrationnels et .

L'ensemble est énorme ! Beaucoup plus grand que . Pour ressentir les tailles différentes de ces deux ensembles infinis, considérons les développements décimaux d'un nombre réel et d'un nombre rationnel. Les nombres rationnels finissent toujours soit par :

  • 1/8 = 0,125

ou avec une répétition de séquence :

  • 1/11 = 0,0909090909......

Imaginez que vous mesuriez un livre. Si vous utilisez une règle, vous obtenez 10 cm. Si vous faites plus attention et lisez les mm, vous obtenez 10,2 cm. Vous pourriez aussi être plus précis et utiliser un pied à coulisse et obtenir 10,235 cm. Avec un microscope électronique, vous obtiendriez 10,235823 cm et ainsi de suite. En général, le développement décimal de toute mesure réelle sera une liste de chiffres qui apparaîtra complètement aléatoire.

Maintenant, imaginez que vous mesuriez un livre et que vous trouvez 10,101010101010 cm. Vous seriez surpris, non ? Mais, ceci est exactement la sorte de résultat que vous auriez si la longueur du livre était rationnelle. Les nombres rationnels sont denses (vous les trouvez sur tout un segment), infinis, mais encore beaucoup, beaucoup plus rares que les nombres réels.

Comment pouvons-nous démontrer que R est plus grand que Q[modifier | modifier le wikicode]

C'est bien d'avoir de ressentir les différences de tailles des infinis de la section précédente. Mais pour être réellement sûrs, nous devons avoir une démonstration. Pour démontrer que est plus grand que , nous utilisons une méthode classique. Nous supposons que est de même taille que et nous arrivons à une contradiction. Pour l'exigence de la clarté, nous restreindrons notre démonstration aux nombres réels entre 0 et 1. Nous appellerons cet ensemble . De façon claire, si nous pouvons démontrer que est plus grand que alors doit être plus grand que également.

Si était de la même taille que , cela signifierait qu'il est dénombrable. Ceci veut dire que nous serions capable d'écrire sous une certaine liste, tous les éléments de (c'est ce que dénombrable veut dire, comme nous avons fait avec tous nos ensembles infinis précédents). Considérons cette liste.

.
.
.

est le premier nombre de notre liste, est le deuxième, et ainsi de suite. Noter que nous n'avons pas indiqué l'ordre d'écriture de la liste. Pour cette démonstration, nous n'avons pas besoin de l'indiquer, seulement que les éléments de peuvent être mis en liste (et donc, dénombrables).

Maintenant, écrivons le développement décimal de chaque élément de la liste.

.
.
.

signifie le premier chiffre après la virgule du premier nombre de la liste. Donc, si notre premier nombre est 0,36921... serait 3, serait 6 et ainsi de suite. Rappelez-vous que cette liste est sensée être complète. Par ceci, cela veut dire qu'elle contient chaque élément de . Ce que nous devons faire pour démontrer que n'est pas dénombrable, c'est de construire un nombre qui n'est pas déjà dans la liste. Puisque la liste est supposée contenir chaque élément de , ceci causera une contradiction et par conséquent montrera que l'on ne peut pas lister .

Pour construire ce nombre non compris dans la liste, nous choisissons une représentation décimale :

est le premier chiffre après la virgule etc.

Nous supposons que prend n'importe quelle valeur de 0 à 9 inclus excepté le chiffre . Donc, si alors peut être 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, ou 9. Puis, nous supposons que soit n'importe quel chiffre excepté (le deuxième chiffre du deuxième nombre de la liste). Puis , le troisième chiffre excepté et ainsi de suite.

Maintenant, si ce nombre, que nous venons de construire était quelque part dans la liste alors il serait égal à (où est n'importe quel nombre). Regardons ce à quoi peut être égal. Il ne peut pas être égal à parce qu'il possède un premier chiffre différent ( et ). Il ne peut pas non plus être égal à parce qu'il possède un deuxième chiffre différent, et ainsi de suite. En fait, il ne peut pas être égal à n'importe quel nombre de la liste car il diffère par au moins un chiffre de tous ceux-là.

Nous avons fait ce que nous voulions. Nous avons construit un nombre qui est dans mais qui n'est pas dans la "liste de tous les éléments de ". Ceci veut dire que est plus grand que n'importe quelle liste. Il ne peut pas être listé. Il n'est pas dénombrable. Il est infini plus grand que .

Existe-t-il des infinis plus grands ?[modifier | modifier le wikicode]

Ils existent mais ils sont difficiles à décrire. L'ensemble de toutes les combinaisons possibles de n'importe quel nombre de nombres réels est un infini "plus grand" que . Néanmoins, imaginer un tel ensemble embrouille l'esprit. Regardons à la place un ensemble qui semblerait plus grand que mais qui ne l'est pas.

Rappelez-vous , que nous avons défini plus tôt comme l'ensemble des nombres sur un segment compris entre 0 et 1. Considérons l'ensemble de tous les nombres dans le carré entre les points du plan [0,0] et [1,1]. Au premier abord, il semblerait évident qu'il doit y avoir beaucoup plus de points sur le carré qu'il en existe sur une ligne. Mais, en mathématiques transfinies, l'"évident" n'est pas toujours vrai et la démonstration est la seule manière de le voir. Cantor dépensa trois années à essayer de démontrer que c'était vrai mais il échoua. Sa raison pour l'échec était la meilleure possible. C'est faux.

Chaque point dans ce carré est défini par deux nombres, l'abscisse et l'ordonnée; x et y tous deux le long de . Considérons un point du segment. . Pouvez-vous penser à une manière d'utiliser ce seul nombre pour définir un point dans le carré ? De même, pouvez-vous penser à une manière de combiner les deux nombres et pour définir un point sur le segment ? (penser à cela avant de lire la suite)

Une manière de le faire est de prendre

.
.
.

Ceci définit une bijection entre les points du carré et les points du segment.

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que le nombre de points dans un cube est le même que le nombre de points sur l'un de ses cotés.

L'hypothèse du continu[modifier | modifier le wikicode]

Nous finirons le chapitre sur les ensembles infinis en jetant un coup d’œil à l'hypothèse du continu. Cette hypothèse établit qu'il n'existe pas d'infini entre les nombres naturels et les nombres réels. Cantor inventa un système de nombres pour les nombres transfinis. Il appela le plus petit infini , puis le plus grand suivant et ainsi de suite. Il est facile de démontrer que le cardinal de est mais est-ce que le cardinal des réels est ?

D'une autre manière, l'hypothèse établit que :

Il n'existe pas d'ensemble infini plus grand que l'ensemble des nombres naturels mais plus petit que l'ensemble des nombres réels.

L'hypothèse est intéressante parce qu'il a été démontré que "Il n'est pas possible de démontrer que l'hypothèse est vraie ou fausse, en utilisant les axiomes normaux de la théorie des ensembles".

Lectures plus poussées[modifier | modifier le wikicode]

Si vous voulez en apprendre plus sur la théorie des ensembles ou sur les ensembles infinis, lisez une des pages intéressantes de Wikipédia.

Limites : comment éviter l'infini[modifier | modifier le wikicode]

La théorie des ensembles infinis nous semble étrange au 21ème siècle, mais au temps de Cantor, elle était détestable pour la plupart des mathématiciens. Dans cette période, l'idée d'infini était trop troublante, ils ont essayé de l'éviter autant que possible.

Malheureusement, la branche mathématique appelée analyse était destinée a être très utile en mathématiques, physique, ingénierie. C'était un domaine trop utile pour l'ignorer simplement parce qu'il était relié à l'infini ou aux processus infinis. Pour contourner ce problème, l'idée de limite fut inventée.

Considérons la suite

Cette suite est appelée la suite harmonique.

Noter que les termes de la suite deviennent de plus en plus petits lorsque leur nombre augmente. Que se passe-t-il si nous rendons n infini ? Le terme deviendrait

Mais ceci n'a pas de sens. (Les mathématiciens considèrent comme mauvais de diviser par l'infini. L'infini n'est pas un nombre usuel, vous ne pouvez pas diviser par lui). Une meilleure manière d'y penser (La manière que vous avez probablement déjà pensé, si vous avez envisagé le problème) est de prendre cette approche : L'infini est très grand, plus grand que n'importe quel nombre auquel vous pourriez penser. Donc, rendons n de plus en plus grand et regardons si 1/n approche un certain nombre fixé. Dans ce cas, comme n devient de plus en plus grand, 1/n devient de plus en plus petit. Donc, il est raisonnable de dire que la limite est 0.

En mathématiques, nous écrivons ceci sous la forme

et est lue :

la limite de 1/n lorsque n tend vers l'infini est zéro.

Noter que nous n'avons pas divisé 1 par l'infini et donné la réponse 0. Nous avons fais en sorte que le nombre n soit de plus en plus grand et que son inverse tende de plus en plus vers zéro. Les mathématiciens du 18ème siècle ont adoré cette idée parce qu'elle évitait l'abomination de division par l'infini. n reste fini tout le temps. Bien sur, on ne se préoccupe pas de l'énormité de n, 1/n ne sera pas exactement égal à zéro, il existe toujours une petite différence. Cette différence (ou erreur) est généralement représentée par (epsilon).

Info -- infiniment petit[modifier | modifier le wikicode]

Lorsque nous parlons d'infini, nous y pensons comme quelque chose d'énorme. Mais il existe aussi l'infiniment petit, représenté par (epsilon). Cet animal est plus proche de zéro que tout autre nombre. Les mathématiciens utilisent aussi le caractère pour représenter n'importe quoi de petit. Par exemple, le célèbre mathématicien hongrois Paul Erdős utilisait ce mot pour faire référence aux enfants.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Regardons la fonction

Quelle est la limite lorsque x tend vers l'infini ?

L'idée de limite a ici toute sa valeur. En remplaçant simplement x avec l'infini, cela nous donne :

Mais en utilisant les limites, nous pouvons résoudre

Pour notre deuxième exemple, considérons la limite lorsque x tend vers l'infini de

De nouveau, regardons la mauvaise manière de le faire. En substituant dans l'expression, cela donne . Noter que vous ne pouvez pas dire que ces deux infinis s'annulent pour donner la réponse zéro.

Maintenant, effectuons la manière correcte, en utilisant les limites

La dernière expression représente les deux fonctions multipliées ensembles. Les deux tendent vers l'infini lorsque x tend vers l'infini, donc le produit est l'infini aussi. Ceci veut dire que la limite n'existe pas, i.e. il n'existe pas de nombre fini que la fonction approche lorsque x devient de plus en plus grand.

Encore une fois, simplement pour que vous soyez familier avec la manière dont cela fonctionne. Calculer :

Pour rendre les choses très claires, nous réécrirons ceci sous la forme

Maintenant, pour calculer ceci, nous avons besoin de regarder les propriétés de sin(x). Sin(x) est une fonction dont vous devriez être déjà familier (ou vous allez l'être bientôt) avec sa valeur qui oscille entre 1 et -1 dépendant de x. Ceci veut dire que la valeur absolue de sin(x) (la valeur en ignorant le signe plus ou moins) est toujours inférieure ou égale à 1 :

Donc, nous avons 1/x dont nous savons déjà qu'il tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini multiplié par sin(x) qui reste toujours fini quelle que soit la valeur de x. Ceci nous donne

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Evaluer les limites suivantes;

Séries infinies[modifier | modifier le wikicode]

Considérons la somme infinie :

Pensez-vous que cette somme sera égale à l'infini une fois que tous les termes seront additionnés ? Sommons les premiers termes.


Pouvez-vous deviner ce qu'est  ?

Voici une autre manière de le voir. Imaginez un point sur un segment se déplaçant le long de la progression de la somme. Dans le premier terme, le point saute à la position 1. Le demi-chemin entre 0 et 2. A la deuxième étape, le point saute à la position 1,5 - le demi-chemin entre 1 et 2. A chaque étape de la progression (montré d'une couleur différente sur le schéma) la distance à 2 est diminuée de moitié. Le point peut être approché du point 2 autant que vous voulez. Vous avez besoin simplement du nombre approprié de sauts, mais le point ne sera jamais atteint avec un nombre fini de sauts. Nous disons qu'à la limite, lorsque n tend vers l'infini, Sn tend vers 2.

Paradoxe de Zenon[modifier | modifier le wikicode]

Les Grecs anciens avaient un gros problème avec la sommation des séries infinies. Un paradoxe célèbre dû au philosophe Zenon est le suivant :

Dans le paradoxe d'Achille et la tortue, nous imaginons le héros grec Achille dans une course à pied avec une tortue. Parce qu'il est un coureur très rapide, Achille permet gracieusement à la tortue de commencer la course en tête d'une centaine de mètres. Si nous supposons que chaque coureur commence à courir à une certaine vitesse constante (une très rapide et une très lente), alors après un certain temps fini, Achille aura couru une centaine de mètres, rattrapant le point de départ de la tortue.

Pendant ce temps, la tortue a "couru" une distance (plus courte), disons un mètre. Cela prendra à Achille un temps supplémentaire de courir cette distance, pendant lequel la tortue avancera un peu plus; puis un autre temps supplémentaire pour atteindre ce troisième point, tandis que la tortue avancera. Ainsi, lorsque Achille atteindra un endroit quelque part où la tortue a été, il lui restera encore une distance à parcourir. Par conséquent, comme le dit Zenon, Achille ne pourra jamais rattraper la tortue.