Approfondissements de lycée/SP Démonstrations

Démonstrations

Ensemble de problèmes sur les démonstrations

1.

Pour tout

${\begin{matrix}a&>&0\\n+a&>&n\\n&>&n-a\\{\sqrt {n}}&>&{\sqrt {n-a}}\\1&>&{\frac {\sqrt {n-a}}{\sqrt {n}}}\\{\frac {1}{\sqrt {n-a}}}&>&{\frac {1}{\sqrt {n}}}\end{matrix}}$

Par conséquent ${\frac {1}{\sqrt {1}}}$ , ${\frac {1}{\sqrt {2}}}$ , ${\frac {1}{\sqrt {3}}}$... $>{\frac {1}{\sqrt {n}}}$

Lorsque a>b et c>d, a+c>b+d (voir aussi Remplacer ceci si vous en trouvez une meilleure).

Par conséquent, nous avons :

${\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>n\times {\frac {1}{\sqrt {n}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\frac {n}{\sqrt {n}}}\times {\frac {\sqrt {n}}{\sqrt {n}}}$

${\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\frac {n{\sqrt {n}}}{n}}$

${\frac {1}{\sqrt {1}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}......+{\frac {1}{\sqrt {n}}}>{\sqrt {n}}$

3.

Soit la proposition

${n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^{n}$ que nous nommons P(n)

Supposons que ceci est vrai pour un certain n, alors

${n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^{n}$

$2\times \left\{{n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose 2}\right\}=2^{n+1}$

$\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+\left\{{n \choose 0}+2{n \choose 1}+2{n \choose 2}+...+2{n \choose n-1}+{n \choose n}\right\}=2^{n+1}$

$\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+\left\{{n \choose 0}+{n \choose 1}\right\}+\left\{{n \choose 1}+{n \choose 2}\right\}+\left\{{n \choose 2}+{n \choose 3}\right\}+...+\left\{{n \choose n-1}+{n \choose n}\right\}=2^{n+1}$

Maintenant, en utilisant les identités de cette fonction :${n \choose a}+{n \choose a+1}={n+1 \choose a+1}$ (Note : si quelqu'un trouve des wikilivres qui ont mentionné ceci, inclure un lien ici !), nous avons :

$\left\{{n \choose 0}+{n \choose n}\right\}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}=2^{n+1}$

Puisque ${n \choose 0}={n \choose n}=1$ pour tout n,

${n+1 \choose 0}+{n+1 \choose n+1}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}=2^{n+1}$

${n+1 \choose 0}+{n+1 \choose 1}+{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}+...+{n+1 \choose n}+{n+1 \choose n+1}=2^{n+1}$

Par conséquent P(n) implique P(n+1), et par une simple substitution P(0) est vrai.

Par conséquent, par le principe de récurrence ou d'induction mathématique, P(n) est vrai pour tout n.

5.

Soit $P(x)=x^{n}+y^{n}\,$ un polynôme avec x comme variable, y et n sont des constantes.

${\begin{matrix}P(-y)&=&(-y)^{n}+y^{n}\\\ &=&-y^{n}+y^{n}({\mbox{lorsque n est un entier impair}})\\\ &=&0\end{matrix}}$

Par conséquent, par le théorème de factorisation (lien ici, svp), (x-(-y))=(x+y) est un facteur de P(x).

Puisque l'autre facteur, qui est aussi un polynôme, possède une valeur entière pour tout entier x,y et n (j'ai enlevé la partie sur la vérification de la valeur entière de tous les coefficients pour ce moment), il est maintenant évident que

${\frac {x^{n}+y^{n}}{x+y}}$ est un entier pour toute valeur entière de x,y et n lorsque n est impair.