Approfondissements de lycée/SP Démonstrations

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Démonstrations

Ensemble de problèmes sur les démonstrations[modifier | modifier le wikicode]

1.

Pour tout
Par conséquent , , ...
Lorsque a>b et c>d, a+c>b+d (voir aussi Remplacer ceci si vous en trouvez une meilleure).
Par conséquent, nous avons :


3.

Soit la proposition
que nous nommons P(n)
Supposons que ceci est vrai pour un certain n, alors
Maintenant, en utilisant les identités de cette fonction : (Note : si quelqu'un trouve des wikilivres qui ont mentionné ceci, inclure un lien ici !), nous avons :
Puisque pour tout n,
Par conséquent P(n) implique P(n+1), et par une simple substitution P(0) est vrai.
Par conséquent, par le principe de récurrence ou d'induction mathématique, P(n) est vrai pour tout n.


5.

Soit un polynôme avec x comme variable, y et n sont des constantes.
Par conséquent, par le théorème de factorisation (lien ici, svp), (x-(-y))=(x+y) est un facteur de P(x).
Puisque l'autre facteur, qui est aussi un polynôme, possède une valeur entière pour tout entier x,y et n (j'ai enlevé la partie sur la vérification de la valeur entière de tous les coefficients pour ce moment), il est maintenant évident que
est un entier pour toute valeur entière de x,y et n lorsque n est impair.