Algèbre différentielle

Dérivations

Dérivation sur une algèbre

Soit $\scriptstyle {k}\,$ un corps commutatif et $\scriptstyle {A}\,$ une algèbre sur $\scriptstyle {k}\,$.

Un endomorphisme $\scriptstyle {d\in End(A)}\,$, c'est-à-dire une application $\scriptstyle {k}\,$-linéaire de $\scriptstyle {A}\,$ dans elle-même, est appelé dérivation si on a

(Règle de Leibniz) $d(fg)=d(f)g+fd(g)\,$ pour tout $f,g\in A\,$.

L'ensemble des dérivations de $\scriptstyle A$ se note $\scriptstyle {Der_{k}(A)}\,$ ou $\scriptstyle {Der(A)}\,$ lorsqu'aucune confusion n'est à craindre.

On vérifie immédiatement que la somme de deux dérivations est une dérivation, ainsi que le produit d'une dérivation par un élément de $\scriptstyle A\,$, donc que $\scriptstyle {Der(A)}\,$ est un sous-module de $\scriptstyle {End(A)}\,$. La composée de deux dérivations n'étant pas, en général, une dérivation, il ne forme pas, sauf cas trivial, une algèbre. Par contre, le crochet $\scriptstyle {[d,d']=dd'-d'd}\,$ de deux dérivations $\scriptstyle {d}\,$ et $\scriptstyle {d'}\,$ est une dérivation. Donc $\scriptstyle {Der(A)}\,$ est une sous-algèbre de Lie de $\scriptstyle {End(A)}\,$.

Pour tout $\scriptstyle {f\in A}\,$, le commutateur $\scriptstyle {ad(f):A\longrightarrow A}\,$, aussi appelé endomorphisme adjoint et défini par $\scriptstyle {ad(f)(g)=fg-gf}\,$ est une dérivation. On défini ainsi un morphisme d'espace vectoriel $\scriptstyle {ad:A\longrightarrow Der(A)}\,$.

Une dérivation du type $\scriptstyle {ad(f)}\,$, c'est-à-dire dans l'image de $\scriptstyle {ad}\,$, est dite intérieure. En réécrivant la règle de Liebnitz, on vérifie que dire que $\scriptstyle {d}\,$ est une dérivation, est équivalent à dire que $\scriptstyle {[d,ad(f)]=ad(d(f))}\,$ pour tout $\scriptstyle {f\in A}\,$. Il en résulte que l'ensemble des dérivations intérieures est un idéal de $\scriptstyle {Der(A)}\,$.

Les éléments annulés par toutes les dérivations $\scriptstyle {C^{te}=\{f\in A|\,\forall d\in Der(A),\;d(f)0=\}}\,$ forment une sous-algèbre de $\scriptstyle A\,$, appelé algèbre des constantes de $\scriptstyle A\,$. Si $\scriptstyle A\,$ est unifère, on vérifie que $\scriptstyle {1\in C^{te}}\,$ et donc que $\scriptstyle {k\subset C^{te}}\,$

Exemples

• $\scriptstyle {A=k}\,$ est une algèbre. Comme une dérivation $\scriptstyle {d}\,$ est linéaire, on a en même temps $\scriptstyle {d(fg)=fd(g)}\,$ et $\scriptstyle {d(fg)=d(f)g+fd(g)}\,$, donc $\scriptstyle {d(f)g=0}\,$ pour tout $\scriptstyle {g}\,$. En particulier, pour $\scriptstyle {g=1}\,$, ce qui est possible car $\scriptstyle {k}\,$ est un coprs, on a $\scriptstyle {d(f)=0}\,$, donc $\scriptstyle {Der_{k}(k)=0}\,$.

• Soit $\scriptstyle {A=M_{n\times n}(k)}\,$ est l'algèbre des martices carrées d'ordre $\scriptstyle {n}\,$ sur $\scriptstyle {k}\,$. Un théorème d'algèbre de Lie permet d'affirmer que toute dérivation de $\scriptstyle {A}\,$ est de la forme $\scriptstyle {d(X)=MX-XM=[M,X]=ad(M)(X)}\,$ pour une certaine matrice $\scriptstyle {M}\,$. En d'autres termes, l'adjonction $\scriptstyle {ad:A\longrightarrow Der(A)}\,$ est un morphisme surjectif (de noyau le sous-espace des homothéties).

• Si $\scriptstyle {A=k[X]}\,$ est une algèbre de polynômes en une indérerminée, alors la dérivée $\scriptstyle {d(f)=f'={d \over {dx}}}\,$ est une dérivation. Nous verrons plus loin que c'est la seule, à un facteur multiplicatif près, et que $\scriptstyle {Der(k[X])=A\cdot {d \over {dx}}}\,$.

• Soit $\scriptstyle {X}\,$ une variété differentiable et $\scriptstyle {A=C^{\infty }(X)}\,$ l'algèbre des fonctions infiniment différentiables sur $\scriptstyle X$. Nous identifierons plus loin $Der(A)$ à l'espace tangent.