Algèbre différentielle

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Dérivations[modifier | modifier le wikicode]

Dérivation sur une algèbre[modifier | modifier le wikicode]

Soit un corps commutatif et une algèbre sur .

Un endomorphisme , c'est-à-dire une application -linéaire de dans elle-même, est appelé dérivation si on a

(Règle de Leibnitz) pour tout .

L'ensemble des dérivations de se note ou lorsqu'aucune confusion n'est à craindre.

On vérifie immédiatement que la somme de deux dérivations est une dérivation, ainsi que le produit d'une dérivation par un élément de , donc que est un sous-module de . La composée de deux dérivations n'étant pas, en général, une dérivation, il ne forme pas, sauf cas trivial, une algèbre. Par contre, le crochet de deux dérivations et est une dérivation. Donc est une sous-algèbre de Lie de .

Pour tout , le commutateur , aussi appelé endomorphisme adjoint et défini par est une dérivation. On défini ainsi un morphisme d'espace vectoriel .

Une dérivation du type , c'est-à-dire dans l'image de , est dite intérieure. En réécrivant la règle de Liebnitz, on vérifie que dire que est une dérivation, est équivalent à dire que pour tout . Il en résulte que l'ensemble des dérivations intérieures est un idéal de .

Les éléments annulés par toutes les dérivations forment une sous-algèbre de , appelé algèbre des constantes de . Si est unifère, on vérifie que et donc que

Exemples

  • est une algèbre. Comme une dérivation est linéaire, on a en même temps et , donc pour tout . En particulier, pour , ce qui est possible car est un coprs, on a , donc .
  • Soit est l'algèbre des martices carrées d'ordre sur . Un théorème d'algèbre de Lie permet d'affirmer que toute dérivation de est de la forme pour une certaine matrice . En d'autres termes, l'adjonction est un morphisme surjectif (de noyau le sous-espace des homothéties).
  • Si est une algèbre de polynômes en une indérerminée, alors la dérivée est une dérivation. Nous verrons plus loin que c'est la seule, à un facteur multiplicatif près, et que .
  • Soit une variété differentiable et l'algèbre des fonctions infiniment différentiables sur . Nous identifierons plus loin à l'espace tangent.

Dérivations sur un module[modifier | modifier le wikicode]

Différentielles[modifier | modifier le wikicode]

Algèbres de polynômes[modifier | modifier le wikicode]

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Opérateurs différentiels[modifier | modifier le wikicode]