représente le corps des réels ou des complexes. (
)
Soit
un ensemble muni d'une loi interne notée
et d'une loi externe
notée
Il existe 10 Axiomes pour définir un
-e.v (
-espace vectoriel) :
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}+:\quad E\times E\qquad \rightarrow \qquad E\\\qquad (u_{1},u_{2})\qquad \rightarrow \qquad u_{1}+u_{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750a384d84eb47e8129583c34e6c0eb7e4457d6e)
et![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
( Loi Interne)![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
![{\displaystyle \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a9ceb3f51a3855999d6bbee5f3b6a8d54ade22)
(Loi Externe)
.
.
admet un élément neutre
, c'est-à-dire
.
- Tout élément
admet un symétrique
tel que
. On note
.
![{\displaystyle \forall u\in E:1\cdot u=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0689c5fed8ac793e990a99dfa3935a4879bb0da0)
![{\displaystyle \forall (\lambda ,\mu )\in \mathrm {K} ^{2},\forall u\in E:\lambda \cdot (\mu \cdot u)=(\lambda \cdot \mu )\cdot u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485b66f4e6178979c6480c346c54a4db93e69f5f)
![{\displaystyle \forall \lambda ,\in \mathrm {K} ,\forall (u_{1},u_{2})\in E^{2}:\lambda \cdot (u_{1}+u_{2})=\lambda \cdot u_{1}+\lambda \cdot u_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49450791141b8bf047af7cda83eeaba10dd8d86)
![{\displaystyle {\displaystyle \forall (\lambda ,\mu ),\in \mathrm {K} ^{2},\forall u\in E:(\lambda +\mu )\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f684a2298398ae673de272b4d861a98f7a92b76c)