Algèbre linéaire/Matrices

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Dans ce chapitre désigne un corps commutatif.

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Soient n et p deux entiers naturels non nuls.

Nous appelons matrice à éléments dans de type (n, p) toute application de dans (famille d'éléments de indexée par ), c'est à dire un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes de la forme :

de s'appellent les éléments ou les coefficients de la matrice.

Une telle matrice se note aussi ou plus simplement .

L'ensemble des matrices de type (n,p) à éléments dans , se note .

Quand n = p, la matrice est dite carrée de dimension n.

Quand p = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments : . On parle de vecteur.

L'ensemble des matrices carrées de type (n,n) ou d'ordre n, se note .

Lorsque la matrice est dite réelle.

Lorsque la matrice est dite complexe.

Les éléments forment la diagonale principale de la matrice.

Matrices particulières[modifier | modifier le wikicode]

Matrice inverse[modifier | modifier le wikicode]

Soit une matrice. L'inverse de , si elle existe, est définie comme l'unique matrice telle que :

Matrice transposée[modifier | modifier le wikicode]

Avant tout, on parle de la transposée d'une matrice. La transposée d'une matrice est notée .

Elle est la matrice obtenue à partir de en inversant les ligne et les colonnes. C'est-à-dire que pour obtenir , on a (avec et )

Autre notation : notation sans renommer la transposée de

Propriété : Lorsque la matrice est dite symétrique on a alors , ce qui donne

Matrice diagonale[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice carrée est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale sont nuls, c'est à dire si

.

Une telle matrice se note .

L'ensemble des matrices diagonales se note .

Matrice triangulaire[modifier | modifier le wikicode]

Matrice triangulaire inférieure[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure).

Une matrice triangulaire inférieure

Une matrice strictement triangulaire inférieure

L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note .

Matrice triangulaire supérieure[modifier | modifier le wikicode]

De manière analogue, une matrice carrée est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire supérieure (ou strictement trigonale supérieure).

Une matrice triangulaire supérieure

Une matrice strictement triangulaire supérieure


L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note .

Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale. Pour le premier exemple : det = 1 x 4 x 6 = 24

Matrice diagonale[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice carrée est dite matrice diagonale lorsque , pour tout , ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite matrice scalaire.

Une matrice diagonale

Une matrice scalaire

Matrice identité[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice identité est une matrice scalaire où .

Une matrice identité (3x3)

Lorsqu'on multiplie une matrice par la matrice identité on revient à la matrice de départ.

Matrice symétrique et anti-symétrique[modifier | modifier le wikicode]

  • Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée:

  • Une matrice est dite anti-symétrique si elle est égale à l'opposé de sa transposée:

Matrices orthogonales[modifier | modifier le wikicode]

M est une matrice orthogonale si

Le déterminant d'une matrice orthogonale est toujours 1 ou -1.

Matrices idempotentes[modifier | modifier le wikicode]

Ces matrices ont la propriété suivante:

Matrices nilpotentes[modifier | modifier le wikicode]

Une matrice est dite nilpotente si:

Le déterminant d'une matrice nilpotente vaut 0.

Addition de matrices[modifier | modifier le wikicode]

A + B = CA, B et C sont des matrices carrées (3,3).

+ =

On additionne les éléments de même position dans chaque matrice. On ne peut additionner que des matrices de même dimension.

Pour deux matrices (n,p), l'addition matricielle se définit ainsi:


Multiplication de matrices[modifier | modifier le wikicode]

Propriétés de la multiplication des matrices[modifier | modifier le wikicode]

On ne peut multiplier deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de celle de gauche est égale au nombre de lignes de celle de droite. D'autre part, le produit de deux matrices n'est pas commutatif :

Pour des matrices , la multiplication matricielle se définit ainsi:

Elément neutre[modifier | modifier le wikicode]

Si , alors est élément neutre à droite

Si , alors est élément neutre à gauche