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Définition
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y'' et la variable x.
Exemples :
y
′
+
y
=
0
{\displaystyle y'+y=0\,}
y
′
−
2
x
y
=
−
3
{\displaystyle y'-2xy=-3\,}
Définition
Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.
Exemple :
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle y'+2y=0\,}
Exemples :
4
y
′
+
2
y
=
3
x
+
1
{\displaystyle 4y'+2y=3x+1\,}
y
′
+
c
o
s
(
y
)
=
0
{\displaystyle y'+cos(y)=0\,}
Équation linéaire ).
x
y
′
−
y
=
0
{\displaystyle xy'-y=0\,}
x
y
′
=
y
{\displaystyle xy'=y\,}
y
′
/
y
=
1
/
x
{\displaystyle y'/y=1/x\,}
l
n
|
y
|
=
l
n
|
x
|
+
k
{\displaystyle ln|y|=ln|x|+k\,}
y
(
x
)
=
e
x
p
(
l
n
|
x
|
+
k
)
{\displaystyle y(x)=exp(ln|x|+k)\,}
y
(
x
)
=
K
x
{\displaystyle y(x)=Kx\,}
K
=
e
x
p
(
k
)
{\displaystyle K=exp(k)\,}
Résoudre
x
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle xy'+2y=0\,}
(
x
+
1
)
y
′
+
2
y
=
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle (x+1)y'+2y=1/(x+2)\,}
On y associe une équation sans second membre :
(
x
+
1
)
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle (x+1)y'+2y=0\,}
La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).
(
x
+
1
)
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle (x+1)y'+2y=0\,}
(
x
+
1
)
y
′
=
−
2
y
{\displaystyle (x+1)y'=-2y\,}
y
′
/
y
=
−
2
/
(
x
+
1
)
{\displaystyle y'/y=-2/(x+1)\,}
l
n
(
y
)
=
−
2
l
n
(
x
+
1
)
+
k
{\displaystyle ln(y)=-2ln(x+1)+k\,}
y
(
x
)
=
e
x
p
(
−
2
l
n
(
x
+
1
)
)
e
x
p
(
k
)
{\displaystyle y(x)=exp(-2ln(x+1))exp(k)\,}
y
(
x
)
=
K
×
1
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle y(x)=K\times 1/(x+1)^{2}\,}
On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K.
K
⇒
K
(
x
)
{\displaystyle K\Rightarrow K(x)}
y
(
x
)
=
K
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle y(x)=K(x)\times 1/(x+1)^{2}\,}
y
′
(
x
)
=
K
′
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
+
K
(
x
)
×
(
−
2
/
(
x
+
1
)
3
)
{\displaystyle y'(x)=K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})\,}
(
x
+
1
)
[
K
′
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
+
K
(
x
)
×
(
−
2
/
(
x
+
1
)
3
)
]
+
2
K
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
=
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle (x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})]+2K(x)\times 1/(x+1)^{2}=1/(x+2)\,}
K
′
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
=
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle K'(x)\times 1/(x+1)=1/(x+2)\,}
K
′
(
x
)
=
(
x
+
1
)
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle K'(x)=(x+1)/(x+2)\,}
(
x
+
1
)
=
(
x
+
2
)
−
1
{\displaystyle (x+1)=(x+2)-1\,}
K
′
(
x
)
=
(
x
+
2
)
/
(
x
+
2
)
−
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle K'(x)=(x+2)/(x+2)-1/(x+2)\,}
K
(
x
)
=
x
−
l
n
(
x
+
2
)
+
k
{\displaystyle K(x)=x-ln(x+2)+k\,}
La solution particulière de (1) est
Y
p
(
x
)
=
(
x
−
l
n
(
x
+
2
)
)
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle Yp(x)=(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,}
Y
(
x
)
=
K
/
(
x
+
1
)
2
+
(
x
−
l
n
(
x
+
2
)
)
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle Y(x)=K/(x+1)^{2}+(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,}
On divise par
y
n
{\displaystyle y^{n}\,}
A
(
x
)
y
′
y
−
n
+
B
(
x
)
y
1
−
n
=
C
(
x
)
{\displaystyle A(x)y'y^{-n}+B(x)y^{1-n}=C(x)\,}
z
(
x
)
=
y
1
−
n
{\displaystyle z(x)=y^{1-n}\,}
z
′
(
x
)
=
(
1
−
n
)
y
−
n
y
′
{\displaystyle z'(x)=(1-n)y^{-n}y'\,}
(
A
(
x
)
z
′
(
x
)
)
/
(
1
−
n
)
+
B
(
z
)
z
(
x
)
=
C
(
x
)
{\displaystyle (A(x)z'(x))/(1-n)+B(z)z(x)=C(x)\,}
y
(
x
)
=
(
z
(
x
)
)
(
1
/
(
1
−
n
)
)
{\displaystyle y(x)=(z(x))^{(}1/(1-n))\,}
Exemple :
x
y
′
+
y
=
y
3
{\displaystyle xy'+y=y^{3}\,}
n = y3 ).
On divise par y3 . Ainsi
x
×
y
′
/
y
3
+
y
/
y
3
=
1
{\displaystyle x\times y'/y^{3}+y/y^{3}=1\,}
x
y
′
y
−
3
+
y
−
2
=
1
{\displaystyle xy'y^{-3}+y^{-2}=1\,}
z
(
x
)
=
y
−
2
{\displaystyle z(x)=y^{-2}\,}
z
′
(
x
)
=
−
2
y
−
3
y
′
{\displaystyle z'(x)=-2y^{-3}y'\,}
x
/
−
2
×
z
′
(
x
)
+
z
(
x
)
=
1
{\displaystyle x/-2\times z'(x)+z(x)=1\,}
On résout l'équation sans second membre :
x
/
−
2
×
z
′
(
x
)
+
z
(
x
)
=
0
{\displaystyle x/-2\times z'(x)+z(x)=0\,}
z
′
(
x
)
=
2
/
x
×
z
(
x
)
{\displaystyle z'(x)=2/x\times z(x)\,}
z
′
(
x
)
/
z
(
x
)
=
2
/
x
{\displaystyle z'(x)/z(x)=2/x\,}
l
n
(
z
(
x
)
)
=
2
l
n
(
x
)
+
k
{\displaystyle ln(z(x))=2ln(x)+k\,}
z
(
x
)
=
e
x
p
(
l
n
(
x
2
)
+
k
)
=
K
e
x
p
(
x
2
)
{\displaystyle z(x)=exp(ln(x^{2})+k)=Kexp(x^{2})\,}
K
=
e
x
p
(
k
)
{\displaystyle K=exp(k)\,}
On fait varier la constante K,
K
⇒
K
(
x
)
{\displaystyle K\Rightarrow K(x)\,}
z
(
x
)
=
K
(
x
)
×
x
2
{\displaystyle z(x)=K(x)\times x^{2}}
z
′
(
x
)
=
K
′
(
x
)
x
2
+
2
K
(
x
)
{\displaystyle z'(x)=K'(x)x^{2}+2K(x)\,}
x
/
−
2
[
K
′
(
x
)
x
2
+
2
K
(
x
)
x
]
+
K
(
x
)
x
2
=
1
{\displaystyle x/-2[K'(x)x^{2}+2K(x)x]+K(x)x^{2}=1\,}
−
1
/
2
×
K
′
(
x
)
x
3
−
K
(
x
)
x
2
+
K
(
x
)
x
2
=
1
{\displaystyle -1/2\times K'(x)x^{3}-K(x)x^{2}+K(x)x^{2}=1\,}
K
′
(
x
)
=
−
2
x
−
3
{\displaystyle K'(x)=-2x^{-3}}
K
(
x
)
=
x
−
2
+
C
{\displaystyle K(x)=x^{-2}+C\,}
z
(
x
)
=
(
−
2
x
−
2
+
2
)
x
2
{\displaystyle z(x)=(-2x^{-2}+2)x^{2}\,}
z
(
x
)
=
1
+
C
x
2
{\displaystyle z(x)=1+Cx^{2}\,}
z
(
x
)
=
1
/
y
2
⇒
y
2
=
1
/
z
=
1
/
(
1
+
C
x
2
)
{\displaystyle z(x)=1/y^{2}\Rightarrow y^{2}=1/z=1/(1+Cx^{2})\,}
1
+
C
x
2
>
0
{\displaystyle 1+Cx^{2}>0\,}
y
(
x
)
=
±
1
/
1
+
C
x
2
{\displaystyle y(x)=\pm 1/{\sqrt {1+Cx^{2}}}\,}
Définition
Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y" et éventuellement y', y et la variable x.
Exemple :
x
y
″
−
y
=
0
{\displaystyle xy''-y=0\,}
![(x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^2 + K(x)\times (-2/(x+1)^3)] + 2K(x)\times 1/(x+1)^2 = 1/(x+2)\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5552dba93b13e411c74485a9c672d2bb192fe808)
![x/-2[K'(x)x^2 +2K(x)x] + K(x)x^2 = 1\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74cd55f65d57e2b0cc4afdbe2be31e81969b5ad2)
