Analyse/Équation différentielle

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Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y et la variable x.

Exemple :
.
.

Équation différentielle du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.


Exemple :
.


Équation différentielle linéaire du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Toute équation différentielle du premier ordre qui peut se mettre sous la forme :
A(x)y' + B(x)y = C(x) (ici avec second membre) ou
A(x)y' + B(x)y = 0 (ici sans second membre)
est une équation linéaire.


Exemple :
.
. n'est pas une équation linéaire.
(voir Équation linéaire)

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

Équation sans second membre[modifier | modifier le wikicode]






(avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre

Équation avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

(que l'on nomme (1))

  • On y associe une équation sans second membre : (que l'on nomme (0))
  • La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
  • On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).






  • On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. . Ainsi et .
    On insère dans (1).



    or
    ainsi

  • La solution particulière de (1) est et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

  • On divise par

    On pose
    Ainsi
    On obtient que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction .


Exemple : (ici yn = y3).

  • On divise par y3. Ainsi ou .
    On pose et et on effectue le changement
  • On résoud l'équation sans second membre :



    avec
  • On fait varier la constante K,
    et
    On insère dans (1):



    Ainsi


    Si alors

Équation différentielle du deuxième ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y" et éventuellement y', y et la variable x

Exemple: