Analyse/Dérivation

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée
Soit une fonction , à valeurs dans , définie sur un voisinage de . On note la variation autour du point et la variation correspondante de la fonction .
Définition 1
On dit qu'une fonction est dérivable en si la limite
existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de en et on la note .
Définition 2
On dit que est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de et on note la fonction dérivée . La dérivée de , si elle existe, est notée , et par récurrence, on définit la dérivée nième de , notée .

Attention à ne pas confondre avec la puissance nième de , notée , avec la dérivée ième notée .


La définition suivante est souvent utile:

Définition 3
On dit que est fois dérivable sur un intervalle si elle est fois dérivable en tout point de ; on dit que
si
sont continues sur .
Donc signifie simplement que est continue sur . On peut aussi parler de la classe , avec les polynômes, l'exponentielle, le sinus, le cosinus et la gaussienne avec .

Interprétation[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Si est à valeurs réelles et si le nombre existe, il est est égal à la pente de la tangente à au point . L'équation cartésienne de la droite tangente à en s'écrit . A noter que si la tangente à la courbe existe encore, mais elle est verticale, et d'équation .


Interprétation mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'équation horaire d'un point matériel selon l'axe en fonction du temps . La limite est notée et la fonction dérivée est la vitesse du point, à l'instant , selon l'axe . L'accélération à l'instant , selon ce même axe, est la dérivée seconde . La loi fondamentale de la dynamique newtonienne s'exprime selon
,
est la masse de la particule considérée et la composante, selon l'axe , de la force qui s'exerce sur la particule, qui peut dépendre de . On obtient des équations différentielles que l'on ne sait résoudre analytiquement que pour des forces assez simples.

Interprétation chimique[modifier | modifier le wikicode]

On considère un échantillon de matériau radio-actif qui contient atomes à l'instant . La loi fondamentale qui régit l'évolution temporelle du phénomène de désintégration est la suivante: le taux de variation instantanée du nombre d'atomes est une constante négative, dont la valeur absolue est notée (elle varie selon la nature de l'atome). La variation instantanée du nombre d'atomes est la dérivée et le taux de variation est . On a donc pour loi de variation temporelle:
.


On obtient encore une équation différentielle; le lecteur peut vérifier que si est le nombre d'atomes initial à , au temps il n'en restera plus que .

Continuité et Dérivabilité[modifier | modifier le wikicode]

Théorème
Toute fonction dérivable en est continue en ce point.
Attention! La réciproque est fausse. Par exemple la fonction est continue en , mais elle n'est pas dérivable en . Ici encore, prudence: il existe des fonctions continues sur qui ne sont dérivables en aucun point! On ne peut pas toujours "faire un dessin".

Calcul des dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Dérivées des fonctions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Différentielle[modifier | modifier le wikicode]

Utilisations[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée première et variations[modifier | modifier le wikicode]

Dérivée seconde et convexité[modifier | modifier le wikicode]

Les théorèmes fondamentaux[modifier | modifier le wikicode]