Analyse/Équation différentielle

Un livre de Wikilivres.

Définition

Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y'' et la variable x.

Exemples :

  • .
  • .

Équation différentielle du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.

Exemple :

  • .

Équation différentielle linéaire du premier ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition

{{{1}}}

Exemples :

  • .
  • . n'est pas une équation linéaire (voir Équation linéaire).

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

Équation sans second membre[modifier | modifier le wikicode]






(avec K = K1 si x>0 ou K = -K1 si x<0) avec

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Résoudre

Équation avec second membre[modifier | modifier le wikicode]

(que l'on nomme (1))

  • On y associe une équation sans second membre : (que l'on nomme (0))
  • La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
  • On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).






  • On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K. . Ainsi et .
    On insère dans (1).



    or
    ainsi

  • La solution particulière de (1) est et la solution générale de (1) est la somme de la solution générale de (0) et de la solution particulière de (1) soit

Résolution[modifier | modifier le wikicode]

  • On divise par

    On pose
    Ainsi
    On obtient que l'on peut résoudre. On revient ensuite à la fonction .

Exemple : (ici yn = y3).

  • On divise par y3. Ainsi ou .
    On pose et et on effectue le changement
  • On résout l'équation sans second membre :



    avec
  • On fait varier la constante K,
    et
    On insère dans (1):



    Ainsi


    Si alors

Équation différentielle du deuxième ordre[modifier | modifier le wikicode]

Définition

Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y" et éventuellement y', y et la variable x.

Exemple :