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Définitions

Définitions de base

Soient E et F deux ensembles.

On appelle graphe de E vers F toutes parties de $E\times F$. On appelle correspondance de E vers F le triplet $(\Gamma ,E,F)$, où $\Gamma$ est un graphe de E vers F, E l'ensemble de départ et F l'ensemble d'arrivée.

On nomme ensemble de définition de la correspondance l'ensemble : $\left\{{x|x\in E\;{\rm {et}}\exists y,(x,y)\in \Gamma }\right\}$ Cet ensemble est vide si, et seulement si, $\Gamma$ est vide.

On appelle graphe fonctionnel de E vers F, tout graphe $\Gamma$ de E vers F, vérifiant la relation suivante : $\forall x\in E,\left\{{y|y\in F\;{\rm {et}}(x,y)\in \Gamma }\right\}=\emptyset {\rm {ou}}\left\{a\right\}$

On appelle application, ou fonction, de E vers F, toute correspondance de E vers F dont le graphe est un graphe fonctionnel et dont E est le domaine de définition

On écrira par convention : $f:E\to F$. L'ensemble $f(E)$ est appelé image de f, noté également $Imf$. ATTENTION : il ne faut pas confondre $f(x)$ qui est un élément de F, et $f$ élément de $E\times F$

Application composée

Soit E,F,G des ensembles et $f:E\to F$, $g:F\to G$. On appelle composée des applications g et f, et on note $g\circ f$, l'application $h:E\to G$, telle que $h(x)=g(f(x))$ pour tout $x\in E$. La composition est associative d'où : $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$. On note alors $h\circ g\circ f$

Caractéristiques

Soit $f:E\to F$ une application.

1) f est injective si et seulement si $\forall x\in E,\forall y\in E,x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)$

2) f est surjective si et seulement si $\forall y\in F,\exists x\in E,f(x)=y$

3) f est bijective si 1) et 2) sont vérifié

On parle éventuellement de permutation de E pour une bijection lorsque l'ensemble est fini.