Analyse/Séries

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Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

  • On appelle série de terme général la suite définie par : est une suite de nombres réels.
  • On dit qu'une série converge si la suite admet une limite S.
  • Si une série ne converge pas, on dit qu'elle est divergente.

Exemple[modifier | modifier le wikicode]


  • ...

Pour n pair, vaut 1, pour n impair, vaut 0. La série n'a pas de limite. La série est donc divergente.

Convergence[modifier | modifier le wikicode]

Condition nécessaire[modifier | modifier le wikicode]

Si une série de terme général converge, alors a pour limite 0 quand n tend vers l'infini.

C'est une condition nécessaire mais non suffisante. Un exemple classique de série divergente de terme général vérifiant cette condition est la série harmonique : .

En effet

et .

D'où

et

Supposons que la série converge, alors et admettent une même limite S et lorsque n tend vers l'infini. Ce qui est en contradiction avec , donc la série diverge.