Analyse/Suites

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Définition : suite numérique[modifier | modifier le wikicode]

Soit l'application de dans



On dit que est la suite numérique de terme général .

On peut la citer extensivement sous la forme :

suite extraite[modifier | modifier le wikicode]

On dit que est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite
si et seulement si :

strictement croissante telle que 

suite stationnaire[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite numérique de terme général
On dit que est une suite stationnaire si et seulement si :

tels que :

Suite Monotone[modifier | modifier le wikicode]

Une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante

Suite croissante[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

une suite est croissante à partir d'un certain rang si

tel que
Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Suite décroissante[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

une suite est décroissante à partir d'un certain rang si

tel que
Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Application[modifier | modifier le wikicode]

pour savoir si une suite est monotone il est souvent astucieux

  • d'étudier le signe de
  • d'étudier le signe de
  • si la suite est de la forme , d'étudier la monotonie de f à partir du signe de sa dérivée
Exemple[modifier | modifier le wikicode]

Suite Bornée[modifier | modifier le wikicode]

Suite Minorée[modifier | modifier le wikicode]

Une suite est minorée s'il existe au moins un réel inférieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

tel que

Suite Majorée[modifier | modifier le wikicode]

Une suite est majorée s'il existe au moins un réel superieur à tous les termes de la suite, autrement dit si:

tel que

Suite Bornée[modifier | modifier le wikicode]

Une suite est bornée si elle est majorée et minorée, c'est-à-dire s'il existe au moins un réel A tel que:

Exemples et applications[modifier | modifier le wikicode]

Convergence et Limite[modifier | modifier le wikicode]

Limite finie[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Une suite possédant une limite finie est dite convergente. Dans le cas contraire, elle est dite divergente.

On dit que la suite converge vers une limite si quel que soit tous les termes de la suite appartiennent à un intervalle sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:


tel que


dans ce cas on note ou

Unicité de la limite[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Une suite convergente a une unique limite l.

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Soit une suite convergente, supposons que la suite possède deux limites distinctes et

d'après la definition de la limite on peut affirmer que:

tel que

et

tel que

donc pour on a

(1)
(2)

en additionnant (1) et (2) on a

(3)

d'après l'inégalité triangulaire

(4)

en intégrant (4) à (3) on obtient

(5)

puisque cette inégalité est vraie pour tout et que l'on a posé au départ on peut poser en l'intégrant à (5) on obtient

donc

Ce qui est absurde, donc on vient de démontrer par l'absurde que l = l', et donc qu’il existe une et une seule limite à une suite convergente

Théorème des suites monotones bornées[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Une suite majorée et croissante est convergente
Une suite minorée et décroissante est convergente

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons que toute partie non vide et majorée de admet une borne supérieure finie. Si l'ensemble est majoré, il admet une borne supérieure finie : notons-la . Puisque est le plus petit des majorants, pour tout , n'est pas un majorant. Donc il existe tel que . Mais si est croissante, alors pour tout ,

donc converge vers .

Si la suite n'est pas majorée, pour tout , il existe tel que . Si est croissante, alors pour tout ,

donc la suite tend vers l'infini.

Si la suite est décroissante, on applique ce qui précède à la suite croissante .

Théorème des suites convergentes[modifier | modifier le wikicode]

Théorème[modifier | modifier le wikicode]

Une suite convergente est bornée

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

() converge vers l, donc d'après la définition de la convergence d'une suite :

tel que :

D'où pour , on a :

Ainsi,

D'où pour  :

D'où () est bornée

Limite infinie[modifier | modifier le wikicode]

On dit que la suite diverge vers (respectivement ) si quel que soit tous les termes de la suite appartiennent à un intervalle (respectivement ) sauf un nombre fini de termes ou autrement dit:


tel que (respectivement )


dans ce cas on note ou (respectivement ou )

Opérations sur les limites[modifier | modifier le wikicode]

Adhérence[modifier | modifier le wikicode]

On appelle valeur d'adhérence d'une suite toute limite finie d'une sous-suite.

Par exemple, soit , ses valeurs d'adhérence sont évidemment 1 et -1.

D'après l'unicité de la limite, l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite convergente vers l est . Cependant, la réciproque est fausse : la suite définie par a une unique valeur d'adhérence 0 mais ne converge pas.

Suites particulières[modifier | modifier le wikicode]

Suites de Cauchy[modifier | modifier le wikicode]

Une suite de Cauchy est définie par :

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Au cours d'une bourse aux livres, un manuel scolaire perd chaque année 12% de sa valeur. Un livre a été acheté neuf en 1985, il coûtait alors 150F. Quel est son prix à la bourse aux livres de 1990 ? de 1995 ?

Pour continuer..................[modifier | modifier le wikicode]