Introduction Notions de base Notions avancées
Introduction Notions de base Notions avancées
Définition
Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est la fonction y(x) et où peuvent figurer les fonctions y', y'' et la variable x.
Exemples :
y
′
+
y
=
0
{\displaystyle y'+y=0\,}
y
′
−
2
x
y
=
−
3
{\displaystyle y'-2xy=-3\,}
Définition
Une équation différentielle est dite du premier ordre si elle comporte la fonction inconnue ainsi que sa dérivée première.
Exemple :
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle y'+2y=0\,}
Exemples :
4
y
′
+
2
y
=
3
x
+
1
{\displaystyle 4y'+2y=3x+1\,}
y
′
+
c
o
s
(
y
)
=
0
{\displaystyle y'+cos(y)=0\,}
Équation linéaire ).
x
y
′
−
y
=
0
{\displaystyle xy'-y=0\,}
x
y
′
=
y
{\displaystyle xy'=y\,}
y
′
/
y
=
1
/
x
{\displaystyle y'/y=1/x\,}
l
n
|
y
|
=
l
n
|
x
|
+
k
{\displaystyle ln|y|=ln|x|+k\,}
y
(
x
)
=
e
x
p
(
l
n
|
x
|
+
k
)
{\displaystyle y(x)=exp(ln|x|+k)\,}
y
(
x
)
=
K
x
{\displaystyle y(x)=Kx\,}
K
=
e
x
p
(
k
)
{\displaystyle K=exp(k)\,}
Résoudre
x
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle xy'+2y=0\,}
(
x
+
1
)
y
′
+
2
y
=
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle (x+1)y'+2y=1/(x+2)\,}
On y associe une équation sans second membre :
(
x
+
1
)
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle (x+1)y'+2y=0\,}
La solution générale de (1) s'obtient en ajoutant la solution générale de (0) à la solution particulière de (1).
On résoud l'équation sans second membre (0). Cela donne la solution générale de (0).
(
x
+
1
)
y
′
+
2
y
=
0
{\displaystyle (x+1)y'+2y=0\,}
(
x
+
1
)
y
′
=
−
2
y
{\displaystyle (x+1)y'=-2y\,}
y
′
/
y
=
−
2
/
(
x
+
1
)
{\displaystyle y'/y=-2/(x+1)\,}
l
n
(
y
)
=
−
2
l
n
(
x
+
1
)
+
k
{\displaystyle ln(y)=-2ln(x+1)+k\,}
y
(
x
)
=
e
x
p
(
−
2
l
n
(
x
+
1
)
)
e
x
p
(
k
)
{\displaystyle y(x)=exp(-2ln(x+1))exp(k)\,}
y
(
x
)
=
K
×
1
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle y(x)=K\times 1/(x+1)^{2}\,}
On cherche la solution particulière de (1). Pour cela on fait varier la constante K.
K
⇒
K
(
x
)
{\displaystyle K\Rightarrow K(x)}
y
(
x
)
=
K
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle y(x)=K(x)\times 1/(x+1)^{2}\,}
y
′
(
x
)
=
K
′
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
+
K
(
x
)
×
(
−
2
/
(
x
+
1
)
3
)
{\displaystyle y'(x)=K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})\,}
(
x
+
1
)
[
K
′
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
+
K
(
x
)
×
(
−
2
/
(
x
+
1
)
3
)
]
+
2
K
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
2
=
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle (x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})]+2K(x)\times 1/(x+1)^{2}=1/(x+2)\,}
K
′
(
x
)
×
1
/
(
x
+
1
)
=
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle K'(x)\times 1/(x+1)=1/(x+2)\,}
K
′
(
x
)
=
(
x
+
1
)
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle K'(x)=(x+1)/(x+2)\,}
(
x
+
1
)
=
(
x
+
2
)
−
1
{\displaystyle (x+1)=(x+2)-1\,}
K
′
(
x
)
=
(
x
+
2
)
/
(
x
+
2
)
−
1
/
(
x
+
2
)
{\displaystyle K'(x)=(x+2)/(x+2)-1/(x+2)\,}
K
(
x
)
=
x
−
l
n
(
x
+
2
)
+
k
{\displaystyle K(x)=x-ln(x+2)+k\,}
La solution particulière de (1) est
Y
p
(
x
)
=
(
x
−
l
n
(
x
+
2
)
)
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle Yp(x)=(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,}
Y
(
x
)
=
K
/
(
x
+
1
)
2
+
(
x
−
l
n
(
x
+
2
)
)
/
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle Y(x)=K/(x+1)^{2}+(x-ln(x+2))/(x+1)^{2}\,}
On divise par
y
n
{\displaystyle y^{n}\,}
A
(
x
)
y
′
y
−
n
+
B
(
x
)
y
1
−
n
=
C
(
x
)
{\displaystyle A(x)y'y^{-n}+B(x)y^{1-n}=C(x)\,}
z
(
x
)
=
y
1
−
n
{\displaystyle z(x)=y^{1-n}\,}
z
′
(
x
)
=
(
1
−
n
)
y
−
n
y
′
{\displaystyle z'(x)=(1-n)y^{-n}y'\,}
(
A
(
x
)
z
′
(
x
)
)
/
(
1
−
n
)
+
B
(
z
)
z
(
x
)
=
C
(
x
)
{\displaystyle (A(x)z'(x))/(1-n)+B(z)z(x)=C(x)\,}
y
(
x
)
=
(
z
(
x
)
)
(
1
/
(
1
−
n
)
)
{\displaystyle y(x)=(z(x))^{(}1/(1-n))\,}
Exemple :
x
y
′
+
y
=
y
3
{\displaystyle xy'+y=y^{3}\,}
n = y3 ).
On divise par y3 . Ainsi
x
×
y
′
/
y
3
+
y
/
y
3
=
1
{\displaystyle x\times y'/y^{3}+y/y^{3}=1\,}
x
y
′
y
−
3
+
y
−
2
=
1
{\displaystyle xy'y^{-3}+y^{-2}=1\,}
z
(
x
)
=
y
−
2
{\displaystyle z(x)=y^{-2}\,}
z
′
(
x
)
=
−
2
y
−
3
y
′
{\displaystyle z'(x)=-2y^{-3}y'\,}
x
/
−
2
×
z
′
(
x
)
+
z
(
x
)
=
1
{\displaystyle x/-2\times z'(x)+z(x)=1\,}
On résout l'équation sans second membre :
x
/
−
2
×
z
′
(
x
)
+
z
(
x
)
=
0
{\displaystyle x/-2\times z'(x)+z(x)=0\,}
z
′
(
x
)
=
2
/
x
×
z
(
x
)
{\displaystyle z'(x)=2/x\times z(x)\,}
z
′
(
x
)
/
z
(
x
)
=
2
/
x
{\displaystyle z'(x)/z(x)=2/x\,}
l
n
(
z
(
x
)
)
=
2
l
n
(
x
)
+
k
{\displaystyle ln(z(x))=2ln(x)+k\,}
z
(
x
)
=
e
x
p
(
l
n
(
x
2
)
+
k
)
=
K
e
x
p
(
x
2
)
{\displaystyle z(x)=exp(ln(x^{2})+k)=Kexp(x^{2})\,}
K
=
e
x
p
(
k
)
{\displaystyle K=exp(k)\,}
On fait varier la constante K,
K
⇒
K
(
x
)
{\displaystyle K\Rightarrow K(x)\,}
z
(
x
)
=
K
(
x
)
×
x
2
{\displaystyle z(x)=K(x)\times x^{2}}
z
′
(
x
)
=
K
′
(
x
)
x
2
+
2
K
(
x
)
{\displaystyle z'(x)=K'(x)x^{2}+2K(x)\,}
x
/
−
2
[
K
′
(
x
)
x
2
+
2
K
(
x
)
x
]
+
K
(
x
)
x
2
=
1
{\displaystyle x/-2[K'(x)x^{2}+2K(x)x]+K(x)x^{2}=1\,}
−
1
/
2
×
K
′
(
x
)
x
3
−
K
(
x
)
x
2
+
K
(
x
)
x
2
=
1
{\displaystyle -1/2\times K'(x)x^{3}-K(x)x^{2}+K(x)x^{2}=1\,}
K
′
(
x
)
=
−
2
x
−
3
{\displaystyle K'(x)=-2x^{-3}}
K
(
x
)
=
x
−
2
+
C
{\displaystyle K(x)=x^{-2}+C\,}
z
(
x
)
=
(
−
2
x
−
2
+
2
)
x
2
{\displaystyle z(x)=(-2x^{-2}+2)x^{2}\,}
z
(
x
)
=
1
+
C
x
2
{\displaystyle z(x)=1+Cx^{2}\,}
z
(
x
)
=
1
/
y
2
⇒
y
2
=
1
/
z
=
1
/
(
1
+
C
x
2
)
{\displaystyle z(x)=1/y^{2}\Rightarrow y^{2}=1/z=1/(1+Cx^{2})\,}
1
+
C
x
2
>
0
{\displaystyle 1+Cx^{2}>0\,}
y
(
x
)
=
±
1
/
1
+
C
x
2
{\displaystyle y(x)=\pm 1/{\sqrt {1+Cx^{2}}}\,}
Définition
Une équation différentielle du deuxième ordre est une équation différentielle contenant y" et éventuellement y', y et la variable x.
Exemple :
x
y
″
−
y
=
0
{\displaystyle xy''-y=0\,}
![{\displaystyle (x+1)[K'(x)\times 1/(x+1)^{2}+K(x)\times (-2/(x+1)^{3})]+2K(x)\times 1/(x+1)^{2}=1/(x+2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5552dba93b13e411c74485a9c672d2bb192fe808)
![{\displaystyle x/-2[K'(x)x^{2}+2K(x)x]+K(x)x^{2}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74cd55f65d57e2b0cc4afdbe2be31e81969b5ad2)
