Analyse/Séries

Définition et Sommes partielles

Soit $(a_{n})$ une suite réelle ou complexe. A celle-ci on peut associer la suite des sommes$$S_{n}=\sum _{p=0}^{n}a_{p}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}$$ La suite $(S_{n})$ ainsi définie est appelée la série de terme général $a_{n}$. Le terme $S_{n}$ s'appelle la somme partielle d'ordre $n$ de la série.

Convergence

On dit que la série $\sum a_{n}$ converge lorsque la suite des sommes partielles converge. Dans ce cas, le nombre

$$S=\lim _{n\to +\infty }S_{n}~~~~{\text{ noté encore }}~~\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$$est appelé somme de la série. Une série qui ne converge pas est dite divergente.

Etudier la nature d'une série consiste à démontrer qu'elle est convergente ou divergente.

Reste d'une série convergente

Dans le cas d'une série convergente de somme $S$, on appelle reste d'ordre $n$ le réel

$$R_{n}=S-S_{n}=\sum _{p=n+1}^{+\infty }a_{p}$$On a toujours $\lim R_{n}=0$ car la série $\sum a_{p}$ est convergente. Il est utile de majorer la valeur absolue de $R_{n}$ pour estimer l'erreur commise lorsque l'on approxime la valeur de $S$ par $S_{n}$.

Exemples

• Série de terme général $a_{n}={\frac {1}{n(n+1)}}$

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},~a_{n}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}$. On peut donc calculer les sommes partielles $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=1-{\frac {1}{n+1}}{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}1$$La série est donc convergente et on peut écrire $\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=1$.

• Série géométrique de terme général $a_{n}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}$ Les sommes partielles sont données par les formules sur les suites géométriques.

$$S_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}={\frac {1-\left({\frac {2}{3}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {2}{3}}}}=3\left[1-\left({\frac {2}{3}}\right)^{n+1}\right]{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}3$$On en déduit que la série est convergente et $\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}=3$.

• Série de terme général $a_{n}=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$

$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},~a_{n}=\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\ln(n+1)-\ln n$. On écrit les sommes partielles qui sont télescopiques $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=(-\ln 1+\ln 2)+(-\ln 2+\ln 3)+\cdots +(-\ln n+\ln(n+1))=\ln(n+1){\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}+\infty$$La série est divergente.

Divergence grossière

Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, la série diverge et on dit même qu'elle est grossièrement divergente. En effet, toute série convergente a un terme général qui tend vers 0.

Démonstration

Soit $(S_{n})$ la suite des sommes partielles d'une série convergente vers $S$. On peut écrire

Attention. Réciproque fausse

On peut se reporter à l'exemple $a_{n}=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$ vu précédemment. Que le terme général de la série tende vers 0 n'est qu'une condition nécessaire de convergence. Elle n'est pas suffisante.

Série harmonique divergente

Un exemple à connaître. Il s'agit de la série de terme général $a_{n}={\frac {1}{n}}$.

Les sommes partielles sont définies par $$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},~S_{n}=\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$$On peut montrer que l'on peut minorer $S_{2n}-S_{n}$ par un réel non nul et donc conclure à la divergence de la série.

Démonstration

$$\forall n\in \mathbb {N} ^{*},~S_{2n}-S_{n}=\sum _{p=n+1}^{2n}{\frac {1}{p}}\geqslant \sum _{p=n+1}^{2n}{\frac {1}{2n}}=n\times {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}$$Si $S_{n}$ était convergente vers $S$, alors ${\frac {1}{2}}\leqslant S_{2n}-S_{n}{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}S-S=0$ ce qui est contradictoire.

Suites et séries télescopiques

Nous avons pu remarquer sur plusieurs exemples les simplifications effectuées sur les sommes partielles par télescopage. Nous généralisons ici ce phénomène.

Théorème

La suite $(a_{n})$ et la série $\sum _{n=0}^{+\infty }(a_{n}-a_{n+1})$ sont de même nature.

Preuve

Soit $S_{n}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum _{n=0}^{+\infty }(a_{n}-a_{n+1})$.$$S_{n}=\sum _{p=0}^{n}(a_{p}-a_{p+1})=\sum _{p=0}^{n}a_{p}-\sum _{p=0}^{n}a_{p+1}=\sum _{p=0}^{n}a_{p}-\sum _{p=1}^{n+1}a_{p}=a_{0}-a_{n+1}$$La convergence de $(S_{n})$ et donc directement reliée à celle de $(a_{n})$.

Etude des séries à termes positifs

De nombreux théorèmes sur les séries ne sont valides que lorsque tous les termes de celle-ci sont positifs, au moins à partir d'un certain rang. Voici les principaux.

Sommes partielles

Si tous les termes $a_{n}$ de la série sont positifs, alors la suite $(S_{n})$ des sommes partielles est croissante. Il y a alors équivalence entre majoration et convergence. On en déduit le théorème suivant

Théorème fondamental

Tous les termes $a_{n}$ étant positifs, la série $\sum a_{n}$ converge si et seulement si les sommes partielles sont majorées.

Tous les $a_{n}$ étant des réels positifs, $\sum a_{n}{\text{ converge }}\iff \exists M\in \mathbb {R} ,~\forall n\in \mathbb {N} ,\sum _{p=0}^{n}a_{n}\leqslant M$

Théorème de comparaison

Soient $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ deux séries à termes positifs. On suppose qu'au moins à partir d'un certain rang, on a l'inégalité $a_{n}\leqslant b_{n}$. On peut alors affirmer

• si $\sum b_{n}$ converge, alors $\sum a_{n}$ converge ;
• si $\sum a_{n}$ diverge, alors $\sum b_{n}$ diverge.

La preuve s'effectue immédiatement en utilisant les majorations des sommes partielles.

Théorème d'équivalence

Soient $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ deux séries à termes positifs. Si $a_{n}\sim b_{n}$ au voisinage de $+\infty$, alors les séries sont de même nature.

Démonstration

Soient $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ deux séries à termes positifs avec $a_{n}\sim b_{n}$ au voisinage de $+\infty$. Supposons que $\sum b_{n}$ converge.

$a_{n}\sim b_{n}$ donc il existe une suite $(u_{n})$ de limite 1 telle que, pour tout $n$ à partir d'un certain rang, on a l'égalité $a_{n}=b_{n}\times u_{n}$.

On en déduit $\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,~n\geqslant n_{0}\implies {\frac {1}{2}}\leqslant u_{n}\leqslant {\frac {3}{2}}~~~~{\text{ d'où }}~~~~{\frac {1}{2}}b_{n}\leqslant a_{n}\leqslant {\frac {3}{2}}b_{n}$

Par comparaison, on en déduit que les deux séries sont de même nature.

Exemples

• $\sum _{n=1}^{+\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)~{\text{ diverge et est à termes positifs. }}\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\sim {\frac {1}{n}}~~{\text{ donc }}~~\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n}}~~{\text{ diverge.}}$
• $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}~{\text{ converge et est à termes positifs. }}{\frac {1}{n(n+1)}}\sim {\frac {1}{n^{2}}}~~{\text{ donc }}~~\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{2}}}~~{\text{ converge.}}$

Séries de Riemann

Toute série de la forme $\sum {\frac {1}{n^{\alpha }}}$ avec $\alpha \in \mathbb {R}$ est appelée série de Riemann.

Exemple : $\sum {\frac {1}{n^{2}}}$ dont on a déjà observé la convergence.

$$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}~~{\text{ converge }}\iff \alpha >1$$Preuves

Pour $\alpha =1$, on retrouve la série harmonique divergente.

Pour $\alpha <1$, alors $n^{\alpha }\leqslant n$ lorsque $n\geqslant 1$. On a donc ${\frac {1}{n^{\alpha }}}\geqslant {\frac {1}{n}}$ qui est lui-même le terme général d'une série divergente. Par comparaison, on en déduit que la série de Riemann diverge.

Pour $\alpha >1$, on peut comparer la série à l'intégrale du même nom (tracer la courbe représentative de la fonction $x\longmapsto {\frac {1}{x^{\alpha }}}$ pour mieux comprendre les inégalités qui suivent).

$$\forall p\geqslant 2,~{\frac {1}{p^{\alpha }}}\leqslant \int _{p-1}^{p}{\frac {\rm {dx}}{x^{\alpha }}}$$Et on en déduit

$$\sum _{p=2}^{n}{\frac {1}{p^{\alpha }}}\leqslant \int _{1}^{n}{\frac {\rm {dx}}{x^{\alpha }}}~~~~{\text{ qui est convergente pour }}\alpha >1$$ce qui montre par comparaison que la série de Riemann est convergente.

Remarque.

On peut montrer également ce dernier résultat en posant $a_{n}={\frac {1}{n^{\beta }}}$ avec $\beta >0$ et en affirmant que la suite $(a_{n})$ et la série $\sum (a_{n}-a_{n+1})$ sont de même nature. Comme la suite converge, on en déduit que la série converge aussi. On montre ensuite en utilisant quelques développements limités que le terme général de la série est équivalent à ${\frac {1}{n^{1+\beta }}}$, ce qui prouve le théorème dans le cas $\alpha >1$.

Exemple. Constante d'Euler

On donne $u_{n}=\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}-\ln n$.

On veut montrer que la suite $(u_{n})$ converge, c'est-à-dire que la série harmonique diverge de manière équivalente au logarithme népérien. On s'intéresse alors à la série de terme général $u_{n}-u_{n+1}$ et on montre qu'elle est convergente.

$u_{n}-u_{n+1}=-{\frac {1}{n+1}}+\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=-{\frac {1}{n+1}}-\ln \left({\frac {n}{n+1}}\right)=-{\frac {1}{n+1}}-\ln \left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-{\frac {1}{n+1}}-\left[-{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}~+o\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{2}\right]={\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+o\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{2}\sim {\frac {1}{2n^{2}}}$

qui est le terme général d'une série convergente d'après la règle de Riemann. On en déduit que $(u_{n})$ est une série convergente. Sa limite, notée $\gamma$ est appelée constante d'Euler. C'est le décalage asymptotique entre la série harmonique et le logarithme népérien. Sa valeur est environ 0.577.

Règle de Cauchy

Elle repose sur la comparaison avec une série géométrique, et ne concerne que les séries à termes positifs.

Théorème

1. Tous les termes $u_{n}$ de la série étant strictement positifs, s'il existe un réel $a<1$ tel que à partir d'un certain rang on ait ${\sqrt[{n}]{u_{n}}}=u_{n}^{\frac {1}{n}}\leqslant a<1$ alors $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}~~{\text{ converge.}}$
2. Si $u_{n}^{\frac {1}{n}}\geqslant 1$ à partir d'un certain rang, alors la série diverge grossièrement.

Démonstration

1. $u_{n}^{\frac {1}{n}}\leqslant a\iff u_{n}\leqslant a^{n}.~~~\sum a^{n}{\text{ converge donc }}\sum u_{n}~{\text{ converge.}}$
2. $u_{n}^{\frac {1}{n}}\geqslant 1\iff u_{n}\geqslant 1$ donc $u_{n}$ ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement.

Corollaire

Les termes $u_{n}$ de la série étant strictement positifs, si $u_{n}^{\frac {1}{n}}$ tend vers $l\in [0,+\infty ]$, alors

• si $l<1$, alors la série converge ;
• si $l>1$, alors la série diverge grossièrement ;
• si $l=1$, alors on ne peut conclure (cas douteux de la règle de Cauchy).

Preuves

Pour $l<1$, on se ramène au théorème principal en remarquant que tous les termes $u_{n}^{\frac {1}{n}}$sont supérieurs à $a={\frac {1+l}{2}}\in ]l,1[$ à partir d'un certain rang.

Pour $l>1$, on peut dire que tous les termes $u_{n}^{\frac {1}{n}}$sont supérieurs ou égaux à 1 à partir d'un certain rang.

Exemples

$$\sum _{n=1}^{+\infty }\left({\frac {n}{2n+1}}\right)^{n}~{\text{ CV }}~~~~~~\sum _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}~{\text{ DV }}~~~~~~\sum _{n=1}^{+\infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}~{\text{cas douteux mais DV.}}$$

Règle de d'Alembert

Elle repose également sur la comparaison avec une série géométrique, et ne concerne que les séries à termes positifs.

Lemme

Si on a $$\forall n\geqslant p,~u_{n},v_{n}>0~~~~{\text{et}}~~~~{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leqslant {\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}$$ alors on en déduit

$$\sum v_{n}~{\text{CV}}\implies \sum u_{n}~{\text{CV}}~~~~~~{\text{ainsi que}}~~~~~~\sum u_{n}~{\text{DV}}\implies \sum v_{n}~{\text{DV}}$$

Les quotients ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}~~{\text{ et }}~~{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}$ pourraient être qualifiés de raison instantanée des suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$.

Preuve

$$\forall k\geqslant p,~{\frac {u_{k+1}}{u_{k}}}\leqslant {\frac {v_{k+1}}{v_{k}}}~~~~{\text{donc}}~~~~\prod _{k=p}^{n-1}{\frac {u_{k+1}}{u_{k}}}\leqslant \prod _{k=p}^{n-1}{\frac {v_{k+1}}{v_{k}}}$$On en déduit

$$\forall n\geqslant p,~{\frac {u_{n}}{u_{p}}}\leqslant {\frac {v_{n}}{v_{p}}}~~~~{\text{ c'est-à-dire }}~~u_{n}\leqslant \left({\frac {u_{p}}{v_{p}}}\right)\,v_{n}$$On a donc $\forall n\geqslant p,~u_{n}\leqslant \lambda v_{n}~~{\text{ avec }}\lambda {\text{ constant.}}$ Par comparaison,

si $\sum v_{n}$ converge, alors $\sum \lambda v_{n}$ converge, et donc $\sum u_{n}$ converge,

et si $\sum u_{n}$ diverge, alors ${\frac {1}{\lambda }}\sum u_{n}$ diverge, et donc $\sum v_{n}$ diverge.

Théorème

1. Tous les termes $u_{n}$ de la série étant strictement positifs, s'il existe un réel $a<1$ tel que à partir d'un certain rang on ait ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leqslant a<1$, alors la série $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ converge.
2. Si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geqslant 1$ à partir d'un certain rang, alors la série diverge grossièrement.

Preuve

1. Soit $v_{n}=a^{n}$. On a ${\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}=a$ et donc à partir d'un certain rang $$\forall n,{\frac {u_{n+1}}{un}}\leqslant a={\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}~~~~{\text{ et }}~~~~\sum _{n=0}^{+\infty }v_{n}~~{\text{ converge car }}a<1$$On en déduit que $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ converge.
2. Si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geqslant 1$, alors $u_{n+1}\geqslant u_{n}$ et donc $u_{n}$ ne tend pas vers 0 et la série diverge grossièrement.

Remarque

Le théorème ne s'applique pas avec l'hypothèse affaiblie ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}<1$. Contre-exemple : la série harmonique.

Corollaire

Les termes $u_{n}$ de la série étant strictement positifs, si ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}$ tend vers $l\in [0,+\infty ]$, alors

• si $l<1$, alors la série converge ;

• si $l>1$, alors la série diverge grossièrement ;
• si $l=1$, alors on ne peut conclure (cas douteux de la règle de d'Alembert).

Exemples

$$\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n!}{n^{n}}}~~{\text{CV}}~~~~~~\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n^{n}}{n!}}~~{\text{DV}}~~~~~~\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}~~{\text{cas douteux.}}$$

Règle de Raabe Duhamel

Comme les règles précédentes, la règle de Raabe Duhamel ne s'applique qu'aux séries à termes positifs.

Elle repose sur la comparaison de la série à étudier avec une série de Riemann.

Théorème

Les termes $u_{n}$ étant strictement positifs, si $n\,\left[1-{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right]$ tend vers $\beta \in [-\infty ,+\infty ]$, alors

• $\beta >1\implies \sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}~~{\text{ converge}}~;$
• $\beta <1\implies \sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}~~{\text{ diverge}}~;$
• $\beta =1$ ne permet pas de conclure (cas douteux de la règle de Raabe Duhamel).

Démonstration

On va utiliser le lemme de la règle de d'Alembert avec une série de Riemann. Soit $v_{n}={\frac {1}{n^{\alpha }}}$ avec $\alpha >0$.$${\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{\alpha }=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{-\alpha }=1-{\frac {\alpha }{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)~~{\text{ donc }}~~n\left[1-{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}\right]{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}\alpha$$et on peut écrire$$n\left[{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}\right]=n\left[\left(1-{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}\right)-\left(1-{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right)\right]=n\left[1-{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}\right]-n\left[1-{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right]{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}\alpha -\beta$$

1. Pour $\beta >1$, il existe $\alpha \in ]1,\beta [$ tel que $\alpha -\beta <0$. Dans ce cas, la suite ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}$ est négative à partir d'un certain rang. Le lemme de la règle de d'Alembert permet alors d'affirmer que la série $\sum u_{n}$ est convergente car la série $\sum v_{n}$ est convergente d'après la règle de Riemann.
2. Pour $\beta <1$, il existe $\alpha \in ]\beta ,1[$ tel que $\alpha -\beta >0$. Dans ce cas, la suite ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-{\frac {v_{n+1}}{v_{n}}}$ est positive à partir d'un certain rang. Le lemme de la règle de d'Alembert permet alors d'affirmer que la série $\sum u_{n}$ est divergente car la série $\sum v_{n}$ est divergente d'après la règle de Riemann.

Exemples

1. $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1.3.5\ldots (2n-1)}{2.4.6\ldots (2n)}}$ cas douteux pour d'Alembert, diverge d'après Raabe Duhamel ;
2. $\sum _{n=2}^{+\infty }{\frac {1.3.5\ldots (2n-3)}{2.4.6\ldots (2n)}}$ cas douteux pour d'Alembert, converge d'après Raabe-Duhamel ;
3. $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n}}$ cas douteux pour d'Alembert et pour Raabe-Duhamel.

Comparaison avec une intégrale impropre

Dans le cas d'une série dont les termes sont les images d'une fonction décroissante et positive, les comportements de la série et de l'intégrale de la fonction sont similaires.

Théorème

Si $f$ est une fonction continue sur $[1,+\infty [$ décroissante et positive, alors on peut affirmer

1. $\sum _{n=1}^{+\infty }f(n)~~~~{\text{ et }}~~~~\int _{1}^{+\infty }f(x)\,{\rm {dx}}$ sont de même nature ;
2. Si la série précédente converge, alors pour tout entier naturel non nul $n$, on a l'encadrement$$\int _{n+1}^{+\infty }f(x)\,{\rm {dx\leqslant R_{n}\leqslant \int _{n}^{+\infty }f(x)\,{\rm {dx}}}}$$

Preuve

Le lecteur aura tout intérêt à s'aider d'un graphique pour comprendre pleinement les inégalités suivantes.

1. $$\forall k\geqslant 1,~\forall x\in [k,k+1],~k\leqslant x\leqslant k+1\implies f(k+1)\leqslant f(x)\leqslant f(k)$$$$\implies \int _{k}^{k+1}f(k+1)\,{\rm {dx\leqslant \int _{k}^{k+1}f(x)\,{\rm {dx\leqslant \int _{k}^{k+1}f(k)\,{\rm {dx}}}}}}$$$$\implies f(k+1)\leqslant \int _{k}^{k+1}\leqslant f(k)$$On en déduit donc $\sum _{k=1}^{n-1}f(k+1)\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,{\rm {dx\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}f(k)}}$ $$\implies \sum _{k=2}^{n}f(k)\leqslant \int _{1}^{n}f(x)\,{\rm {dx\leqslant \sum _{k=1}^{n-1}f(k)}}$$et on peut conclure a. si $\int _{1}^{+\infty }f(x)\,{\rm {dx}}$ converge, alors $\left(\int _{1}^{n}f(x)\,{\rm {dx}}\right)_{n\geqslant 1}$ est majorée, donc $\left(\sum _{k=2}^{n}f(k)\right)_{n\geqslant 1}$ est croissante et majorée, donc la série $\sum _{k=1}^{+\infty }f(k)$ converge ; b. si $\sum _{k=1}^{+\infty }f(k)$ converge, alors $\left(\sum _{k=1}^{n-1}f(k)\right)_{n\geqslant 1}$ est majorée, alors $F~:~x\longmapsto \int _{1}^{x}f(t)\,{\rm {dt}}$ est croissante et majorée sur $[1,+\infty [$, donc $\int _{1}^{+\infty }f(t)\,{\rm {dt}}$ converge (on montre que la limite de $F{\text{ en }}+\infty$ est la borne supérieure de $F(t)$ pour $t\in [1,+\infty [$.
2. $\forall k\geqslant 2,~\forall x\in [k,k+1],~f(x)\leqslant f(k)\leqslant f(x-1)$ donc $\int _{k}^{k+1}f(x)\,{\rm {dx\leqslant f(k)\leqslant \int _{k}^{k+1}f(x-1)\,{\rm {dx}}}}$ c'est-à-dire $\int _{k}^{k+1}f(x)\,{\rm {dx\leqslant f(k)\leqslant \int _{k-1}^{k}f(x)\,{\rm {dx}}}}$ et $\sum _{k=n+1}^{p}\int _{k}^{k+1}f(x)\,{\rm {dx\leqslant \sum _{k=n+1}^{p}f(k)\leqslant \sum _{k=n+1}^{p}\int _{k-1}^{k}f(x)\,{\rm {dx}}}}$ et donc $\int _{n+1}^{p+1}f(x)\,{\rm {dx\leqslant R_{n}\leqslant \int _{n}^{p}f(x)\,{\rm {dx}}}}$ ce qui donne en passant à la limite quand $p$ tend vers $+\infty$$$\int _{n+1}^{+\infty }f(x)\,{\rm {dx\leqslant R_{n}\leqslant \int _{n}^{+\infty }f(x)\,{\rm {dx}}}}$$

Applications aux séries de Bertrand

On désigne par $B(\alpha )=\sum _{n=2}^{+\infty }{\frac {1}{n\,\ln ^{\alpha }(n)}}$ un cas particulier de série de Bertrand.

La comparaison série-intégrale nous permet d'affirmer que $B(\alpha )$ converge si et seulement si $\alpha >1$.

Série exponentielle

Théorème

$$\forall x\in \mathbb {R} ,~{\rm {e^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }}$$

Preuve

Il s'agit de démontrer que la fonction exponentielle est développable en série entière. Pour cela on va utiliser l'inégalité de Taylor et montrer que le reste d'ordre $n$ tend vers 0. La fonction exponentielle est de classe ${\mathcal {C}}^{\infty }$ sur $\mathbb {R}$ donc on peut lui appliquer n'importe laquelle des formules de Taylor, et sur n'importe quel segment.

Appliquons la formule de Taylor avec reste intégral à $f=exp$ entre 0 et $x$. La partie régulière d'ordre $n$ donne la somme partielle d'ordre $n$ :$$f(0)+xf'(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}f''(0)+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}f^{(n)}(0)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}$$Le reste intégral de Taylor d'ordre $n$ peut se majorer en posant $M=\sup _{t\in [0,x]}|f^{(n+1)}(t)|=\max({\rm {e^{x},1)}}$$$|R_{n}|\leqslant {\frac {M\,|x-0|^{n+1}}{(n+1)!}}={\frac {M\,|x|^{n+1}}{(n+1)!}}$$Montrons que ce reste tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.

Soit $$\alpha _{n}={\frac {M\,|x|^{n+1}}{(n+1)!}}>0.~~\forall n\in \mathbb {N} ,~{\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {|x|}{n+2}}{\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}0<1$$donc $\sum \alpha _{n}$ est convergente d'après la règle de d'Alembert, ce qui entraîne que $\alpha _{n}$ tend vers 0.

On en déduit que $R_{n}$ tend vers 0 et donc que la fonction exponentielle est développable en série entière.

Exemples

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {3^{n}}{n!}}={\rm {e^{3}}}$$$$\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {n\times 3^{n}}{n!}}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {n\times 3^{n}}{n!}}=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {3^{n}}{(n-1)!}}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {3^{n+1}}{n!}}=3\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {3^{n}}{n!}}=3{\rm {e^{3}}}$$

Absolue convergence

On considère la série $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ dans laquelle $(a_{n})$ est une suite à termes réels ou complexes.

Si la série des valeurs absolues (ou modules) $\sum _{n=0}^{+\infty }|a_{n}|$ converge, alors on dit que $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ est absolument convergente (ACV).

Théorème

Toute série de termes réels ou complexes absolument convergente est convergente. Ce résultat est la conséquence du caractère complet de $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ muni de la distance euclidienne.

Démonstration

Soit $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ une série absolument convergente. Alors $\sum _{n=0}^{+\infty }|a_{n}|$ est convergente. Cette deuxième série vérifie donc le critère de convergence de Cauchy :$$\forall \varepsilon >0,~\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,~n\geqslant p\geqslant n_{0}\implies |a_{p+1}|+\cdots +|a_{n}|\leqslant \varepsilon$$Soit $S_{n}=\sum _{p=0}^{n}a_{p}$ la somme partielle d'ordre $n$ de la première série. On peut écrire$$\forall \varepsilon >0,~\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,~n\geqslant p\geqslant n_{0}\implies |S_{n}-S_{p}|=|a_{p+1}+\cdots +a_{n}|\leqslant |a_{p+1}|+\cdots +|a_{n}|\leqslant \varepsilon$$ce qui montre que $(S_{n})$ est de Cauchy dans $\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ complet, donc $(S_{n})$ converge.

Semi convergence

Si une série est convergente sans être absolument convergente, on dit qu'elle est semi convergente. Le paragraphe suivant constitue un exemple célèbre de la semi convergence.

Série harmonique alternée

Un exemple à connaître. La série harmonique alternée est la série $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ avec $a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}$.

Cette série n'est pas absolument convergente car la série harmonique diverge. En revanche, on peut démontrer que la série alternée converge, et même calculer sa somme égale à $\ln 2$.

Pour démontrer la convergence, on pourra utiliser les règle de Leibniz qui suit, et la formule de Taylor pour calculer la somme en l'appliquant à la fonction $\ln(1+t)$ sur l'intervalle $[0,1]$.

Règle de Leibniz

C'est une règle qui s'applique à une série alternée, c'est-à-dire dont le terme général est un réel de la forme $a_{n}=(-1)^{n}\alpha _{n}$ avec $\alpha _{n}\geqslant 0$.

Théorème

Soit $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ une série alternée. Si $|a_{n}|$ tend vers 0 en décroissant, alors

1. la série $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ est convergente ;
2. le signe du reste $R_{n}$ est celui de son premier terme $a_{n+1}$, et $|R_{n}|\leqslant |a_{n+1}|$ ;
3. la somme de la série est encadrée par deux sommes partielles consécutives quelconques.

Preuve

1. On démontre que les suites des sommes partielles de rangs pairs et impairs sont adjacentes, donc convergent vers la même limite, ce qui entraîne la convergence de la série.
2. On se place dans les hypothèses du théorème et donc que la série converge.$$R_{n}=\sum _{p=n+1}^{+\infty }a_{p}=\sum _{p=0}^{+\infty }(a_{n+1+2p}-a_{n+2+2p})=\operatorname {sgn}(a_{n+1})\sum _{p=0}^{\infty }(|a_{n+1+2p}|-|a_{n+2+2p}|)$$est du signe de $a_{n+1}$ car chacun des termes de la somme est positif du fait de la décroissance de $(|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }$. D'autre part, $\forall n\in \mathbb {N} ,~R_{n}=a_{n+1}+R_{n+1}$ et $R_{n+1}$ est du signe de $a_{n+2}$, c'est-à-dire du signe contraire de $a_{n+1}$. On peut donc écrire$$\forall n\in \mathbb {N} ,~R_{n}=a_{n+1}+R_{n+1}=\operatorname {sgn}(a_{n+1})[|a_{n+1}|-|R_{n+1}|]$$que l'on sait être du signe de $a_{n+1}$. On a donc $|a_{n+1}|-|R_{n+1}|\geqslant 0$ et on en déduit$|R_{n}|=|a_{n+1}|-|R_{n+1}|\leqslant |a_{n+1}|$.
3. L'encadrement est la conséquence de l'adjacence des sous-suites des termes pairs et impairs.

Règle d'Abel

Théorème

On considère la série de terme général $u_{n}=a_{n}b_{n}$ avec

• $\sigma _{n}=\sum _{p=0}^{n}b_{p}=b_{0}+b_{1}+\cdots +b_{n}$ bornée (indépendamment de $n$ ;
• $a_{n}$ tend vers 0 en décroissant.

Alors on peut affirmer que $\sum _{n=0}^{+\infty }u_{n}$ converge.

Exemple

Etude de la convergence de la série $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\sin n}{n}}$.

Il ne s'agit pas d'une série à termes positifs, ni d'une série alternée. Le terme général s'écrit comme le produit de ${\frac {1}{n}}$ qui tend vers 0 en décroissant, et de $\sin n$ dont on va démontrer que les sommes partielles sont bornées.

En effet, $\sum _{k=1}^{n}\sin k$ est la partie imaginaire de $\sum _{k=1}^{n}{\rm {e^{\rm {ik}}}}$ qui est une somme géométrique égale à ${\frac {1-{\rm {e^{\rm {in}}}}}{1-{\rm {e^{\rm {i}}}}}}$

dont le module est majoré par ${\frac {|1|+|-{\rm {e^{\rm {in}}|}}}{|1-{\rm {e^{\rm {i}}|}}}}={\frac {2}{|1-{\rm {e^{\rm {i}}|}}}}$.

La valeur absolue de la partie imaginaire étant inférieure au égale au module, on en déduit que $\left|\sum _{k=1}^{n}\sin k\right|$ est majorée par le même nombre, et donc que la série $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {\sin n}{n}}$ est convergente d'après la règle d'Abel.

Preuve

On va utiliser le critère de Cauchy pour une série ainsi que la technique de la transformation d'Abel.

Soit $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{k}$ la somme partielle d'ordre $n$. Pour démontrer que $(S_{n})$ est de Cauchy, on va chercher à majorer $|S_{n}-S_{p}|$ pour $n\geqslant p\geqslant 1$.

$$|S_{n}-S_{p}|=\sum {k=p+1}^{n}a_{k}b_{k}=\sum _{k=p+1}^{n}ak(\sigma _{k}-\sigma _{k-1})=\sum _{k=p+1}^{n}a_{k}\sigma _{k}-\sum _{k=p+1}^{n}a_{k}\sigma _{k-1}$$$$=\sum _{k=p+1}^{n}a_{k}\sigma _{k}-\sum _{k=p}^{n-1}a_{k+1}\sigma _{k}=-a_{p+1}\sigma _{p}+\sum _{k=p+1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})\sigma _{k}+a_{n}\sigma _{n}$$

On en déduit, en désignant par $M$ un majorant de $|\sigma _{n}|$ et en utilisant la décroissance de $(a_{n})$ :

$|S_{n}-S_{p}|=\left|\sum _{k=p+1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant a_{p+1}|\sigma _{p}|+\sum _{k=p+1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})|\sigma _{k}|+a_{n}|\sigma _{n}|$$$\leqslant a_{p+1}M+\sum _{k=p+1}^{n-1}(a_{k}-a_{k+1})M+a_{n}M\leqslant M(a_{p+1}+a_{p+1}-a_{n}+a_{n})=2Ma_{p+1}$$

On a obtenu une majoration indépendante de $n$ par un terme qui tend vers 0 quand $p$ tend vers $+\infty$. On en déduit que $(S_{n})$ est une suite de Cauchy dans $\mathbb {R} ~{\text{ou}}~\mathbb {C}$ complet, ce qui entraîne que la série converge.