Approfondissements de lycée/Fractions partielles
Méthode des fractions partielles[modifier | modifier le wikicode]
Introduction[modifier | modifier le wikicode]
Avant de commencer, considérons ce qui suit : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}......+\frac{1}{99\times100}}
Comment pouvons-nous calculer cette somme ? Au premier coup d’œil, cela semble difficile, mais si vous y réfléchissez, vous trouverez : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{4\times5}=\frac{5-4}{4\times5}=\frac{5}{4\times5}-\frac{4}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}
Ainsi, le problème original peut être réécrit comme suit,
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle =\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}......-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}}
Donc, tous les termes excepté le premier et le dernier peuvent être annulés, et par conséquent
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle =1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}}
En fait, vous avez effectué des fractions partielles ! Les fractions partielles est une méthode pour réduire les fractions compliquées qui impliquent des produits en sommes de fractions plus simples.
Méthode[modifier | modifier le wikicode]
Comment faisons-nous des fractions partielles ? Regardons l'exemple ci-dessous :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{z^2-3z+2}}
Factorisons le dénominateur.
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{(z-1)(z-2)}}
Puis, nous supposons que nous pouvons le scinder en fractions comportant au dénominateur (z-1) et (z-2) respectivement. Notons leurs numérateurs a et b.
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{(z-1)(z-2)} \equiv \frac{a}{z-1}+\frac{b}{z-2}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{(z-1)(z-2)} \equiv \frac{a(z-2)}{(z-1)(z-2)} + \frac{b(z-1)}{(z-1)(z-2)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{(z-1)(z-2)} \equiv \frac{az-2a+bz-b}{(z-1)(z-2)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{(z-1)(z-2)} \equiv \frac{(a+b)z-(2a+b)}{(z-1)(z-2)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 4z-5 \equiv (a+b)z-(2a+b)}
Par conséquent, en faisant coïncider les coefficients des puissances de z, nous avons :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} a+b=4 & ...(1) \\ 2a+b=5 & ...(2) \end{cases} }
(2)-(1):a=1
Substituons a=1 en (1):b=3
Par conséquent
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4z-5}{z^2-3z+2}=\frac{1}{z-1}+\frac{3}{z-2}}
(Besoin d'exercices !)
Plus sur les fractions partielles[modifier | modifier le wikicode]
Facteurs répétés[modifier | modifier le wikicode]
Lors de la dernière sections, nous avons parlé de la factorisation du dénominateur, et obtenu chaque facteur comme dénominateur de chaque terme. Mais que se passe-t'il lorsqu’il y a une répétition de facteurs ? Pouvons-nous appliquer la même méthode ? Regardons l'exemple ci-dessous :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-1}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A+B}{x+2} + \frac{C}{x-1}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{(A+B)(x-1)}{(x+2)(x-1)} + \frac{C(x+2)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{(A+B)(x-1)+C(x+2)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{(A+B+C)x+(2C-A-B)}{(x+2)(x-1)}}
Un facteur est manquant ! Pouvons-nous multiplier et le dénominateur et le numérateur par ce facteur ? Non ! Parce que le numérateur est de degré 1, en multipliant avec un facteur linéaire le rendra de degré 2 ! (Vous pouvez penser : ne pouvons-nous pas établir A+B+C=0 ? Oui, mais en substituant A+B=-C, vous trouverez que ceci est impossible).
À partir de l'échec de l'exemple précédent, nous voyons que l'ancienne méthode des fractions partielles ne marche pas. Vous pouvez vous demander si nous pouvons actuellement les scinder ? Oui, mais avant d'attaquer ce problème, regardons d'un peu plus près les dénominateurs.
Considérons l'exemple suivant :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{2^{3}7^2} + \frac{1}{2^{5}7}\,}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle =\frac{2^2}{2^{5}7^2} + \frac{7}{2^{5}7^2}\,}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle =\frac{2^2 + 7}{2^{5}7^2}\,}
Nous pouvons voir que la puissance du facteur premier dans le produit du dénominateur est la puissance maximale de ce facteur premier dans tous les termes du dénominateur.
De manière similaire, soient les facteurs Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle P_1,P_2,...,P_n}
, alors, nous avons le cas général :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{A}{P_1^{\alpha_1}P_2^{\alpha_2}...P_n^{\alpha_n}} + \frac{B}{P_1^{\beta_1}P_2^{\beta_2}...P_n^{\beta_n}} + ... \frac{Z}{P_1^{\zeta_1}P_2^{\zeta_2}...P_n^{\zeta_n}}}
Si nous les convertissons en une grande fraction, le dénominateur sera :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle P_1^{max(\alpha_1,\beta_1,...,\zeta_1)} P_2^{max(\alpha_2,\beta_2,...,\zeta_2)}... P_n^{max(\alpha_n,\beta_n,...,\zeta_n)}}
Revenons à notre exemple, puisque le facteur (x+2) est de puissance 2, au moins un des termes a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle (x+2)^2} comme le facteur du dénominateur. Vous pouvez alors essayer comme suit :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A}{(x+2)^2} + \frac{B}{x-1}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A(x-1)}{(x+2)^2(x-1)} + \frac{B(x+2)^2}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A(x-1) + B(x+2)^2}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{Ax - A + Bx^2 + 4Bx + 4B}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{Bx^2 + (A+4B)x + (4B-A)}{(x+2)^2(x-1)}}
Mais, de nouveau, nous ne pouvons pas fixer B=0, puisque cela voudrait dire que le dernier terme est 0 ! Qu'est-ce qui manque ? Pour le manipuler proprement, utilisons une table pour montrer toutes les combinaisons du dénominateur :
| Puissance de (x+2) | Puissance de (x-1) | Résultat | Utilisé ? |
| 0 | 0 | 1 | Pas utile |
| 1 | 0 | (x+2) | Non utilisé |
| 2 | 0 | (x+2)^2 | Utilisé |
| 0 | 1 | (x-1) | Utilisé |
| 1 | 1 | (x+2)(x-1) | Pas utile |
| 2 | 1 | (x+2)^2(x-1) | Pas utile |
Donc, nous savons maintenant quel X/(x+2) est manquant, nous pouvons finalement obtenir la réponse :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A}{(x+2)^2} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x-1}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A(x-1)}{(x+2)^2(x-1)} + \frac{B(x+2)(x-1)}{(x+2)^2(x-1)} + \frac{C(x+2)^2}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{A(x-1) + B(x^2+x-2) + C(x^2+4x+4)}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{(B+C)x^2+(A+B+4C)x-(A+2B-4C)}{(x+2)^2(x-1)}}
Par conséquent, en coïncidant le coefficient de la puissance de x, nous avons
Pour conclure, pour un facteur répété d'une puissance n, nous aurons n termes avec leur dénominateur étant X^n, X^(n-1), ...,X^2, X
Les travaux continuent, ne pas déranger :)
Méthode différente pour les facteurs répétés[modifier | modifier le wikicode]
À la différence de la méthode suggérée ci-dessus, nous pourrions utiliser une autre approche du problème. Nous pouvons d'abord exclure certains facteurs pour qu'il soit de la forme non répétée, puis effectuer les fractions partielles, et multiplier le facteur en retour, puis appliquer les fractions partielles sur les 2 fractions.
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{1}{x+2} \times \frac{4x-1}{(x+2)(x-1)}}
Puis, nous appliquons les fractions partielles sur la dernière partie :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{A(x-1)}{(x+2)(x-1)} + \frac{B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{(A+B)x+(2B-A)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 4x-1 \equiv (A+B)x + (2B-A)}
En coïndidant les coefficients des puissances de x, nous avons
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} A+B = 4 & ...(1) \\ 2B-A = -1 & ...(2) \end{cases} }
En substituant A=4-B dans (2),
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 2B-(4-B) = -1}
Ainsi B = 1 et A = 3.
Nous plaçons :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{1}{x+2} \times \left (\frac{3}{x+2} + \frac{1}{x-1} \right)}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \equiv \frac{3}{(x+2)^2} + \frac{1}{(x+2)(x-1)}}
Maintenant, nous effectuons les fractions partielle une fois de plus :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{A(x-1)}{(x+2)(x-1)} + \frac{B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{A(x-1)+B(x+2)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x-1)} \equiv \frac{(A+B)x+(2B-A)}{(x+2)(x-1)}}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle 0x + 1 \equiv (A+B)x + (2B-A)}
En coïncidant les coefficients des puissances de x, nous avons :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} A+B = 0 & ...(1) \\ 2B-A = 1 & ...(2) \end{cases} }
Substituons A=-B dans (2), nous avons :
2B-(-B) = 1
Ainsi B=1/3 et A=-1/3
Donc finalement,
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikibooks.org/v1/v1/ » :): {\displaystyle \frac{4x-1}{(x+2)^2(x-1)} \equiv \frac{3}{(x+2)^2} - \frac{1}{3(x+2)} + \frac{1}{3(x-1)}}