Approfondissements de lycée/PS Premiers

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Approfondissements de lycée

Question 1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que le théorème "divisible par 3" marche pour tout nombre à 3 chiffres (Astuce : Exprimer un nombre à 3 chiffre sous la forme 100a + 10b + c, où 0 ≤ a, b et c ≤ 9)

Solution 1[modifier | modifier le wikicode]

Tout nombre entier à 3 chiffre x peut être exprimé comme suit

x = 100a + 10b + c

où a, b et c sont des entiers positifs compris entre 0 et 9. Maintenant,

si et seulement si a + b + c = 3k pour un certain k. Mais a, b et c sont les chiffres de x.

Question 2[modifier | modifier le wikicode]

"Un nombre est divisible par 9 si et seulement si la somme est divisible par 9." Vrai ou faux ? Déterminer si 89, 558, 51858, et 41857 sont divisibles par 9. Vérifier vos réponses.

Solution 2[modifier | modifier le wikicode]

Le résultat est vrai et peut être démontré comme dans la question 1.

Question 3[modifier | modifier le wikicode]

Existe-t'il une règle pour déterminer si un nombre à 3 chiffres est divisible par 11 ? Si oui, déterminer cette règle.

Solution 3[modifier | modifier le wikicode]

Comme précédement

x = 100a + 10b + c

Maintenant

Un nombre à trois chiffres est divisible par 11 si et seulement si la somme de son premier et dernier chiffre moins le second est divisible par 11.

Question 4[modifier | modifier le wikicode]

Le crible premier a été appliqué à la table ci-dessus. Noter que chaque nombre situé directement sous 2 et 5 sont rayés. Construire une grille rectangulaire de nombre allant de 1 à 60 après que le crible premier a été exécuté sur elle, tous les nombres situés directement sous 3 et 5 sont rayés. Quelle est la largeur de la grille ?

Solution 4[modifier | modifier le wikicode]

La largeur de la grille est 15 ou un multiple de celui-ci.

Question 5[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous des nombres premiers. (p un nombre entier positif)

Solution 5[modifier | modifier le wikicode]

Plaçons-nous en arithmétique mod 3, alors p peut être mis dans une des trois catégories

1ère catégorie
p n'est pas premier
2ème catégorie
p + 2 n'est pas premier
3ème catégorie
p + 4 n'est pas premier

Par conséquent p, p + 2 et p + 4 ne peuvent pas être tous premiers.

Question 6[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que n - 1 a lui-même comme inverse modulo n.

Solution 6[modifier | modifier le wikicode]

(n - 1)2 = n2 - 2n + 1 = 1 (mod n)

Alternativement

(n - 1)2 = (-1)2 = 1 (mod n)

Question 7[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que 10 n'a pas d'inverse modulo 15.

Solution 7[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que 10 possède un inverse x mod 15,

10x = 1 (mod 15)
2 x 5x = 1 (mod 15)
5x = 8 (mod 15)
5x = 8 + 15k

pour un certain entier k

x = 1,6 + 3k

mais maintenant, x n'est pas un entier, par conséquent 10 n'a pas d'inverse

Question 8[modifier | modifier le wikicode]

Trouver x

Solution 8[modifier | modifier le wikicode]

Notons que

.

Alors

.

De même,

et

.

Alors

Question 9[modifier | modifier le wikicode]

9. Montrer qu'il n'existe pas d'entier x et y tels que

Solution 9[modifier | modifier le wikicode]

Regardons l'équation mod 5, nous avons

mais

Par conséquent, il n'existe pas de x tel que

Question 10[modifier | modifier le wikicode]

Soit p un nombre premier. Montrer que

(a)

C.a.d. 3! = 1*2*3 = 6

(b)

Maintenant, montrer que

pour p ≡ 1 (mod 4)

Solution 10[modifier | modifier le wikicode]

a) Si p = 2, alors c'est évident. Donc, nous supposons que p est un nombre premier impair. Puisque p est premier, cela implique que chaque élément distinct possède un inverse et que l'inverse de (p - 1) est (p - 1). Puisque

(p - 1)! = (p - 1) [(p - 2)(p - 3)... 2]

vous pouvez apparier les inverses et les multiplier pour donner 1, et (p - 1) possède comme inverse lui-même, par conséquent, c'est le seul élément non-"éliminé"

(p - 1)! = (p - 1)
(p - 1)! = - 1

est requis.

b) A partir de a)

-1 = (p - 1)!

puique p = 4k + 1 pour un certain entier positif k, (p - 1)! possède 4k termes

-1 = 1 x 2 x 3 x... 2k x (-2k) x(- 3) x (- 2) x (- 1)

il existe un nombre pair de nombres négatifs pour le coté droit, donc

-1 = (1 x 2 x 3 x...2k)2

il s'ensuit

et finalement, nous notons que p = 4k + 1, nous pouvons conclure