Approfondissements de lycée/SE Démonstrations

Démonstrations

Exercices sur l'induction mathématique

1.

Démontrer que $1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}\,$

Lorsque n=1,

Côté gauche de l'équation $=1^{2}=1\,$

Côté droit de l'équation $={\frac {1\times 2\times 3}{6}}={\frac {6}{6}}=1\,$

Par conséquent côté gauche = côté droit

Par conséquent, c'est vrai lorsque n=1.

Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,

i.e. $1^{2}+2^{2}+\ldots +k^{2}={\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}\,$

${\begin{matrix}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}&=&{\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+k^{2}+(k+1)^{2}&=&{\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}\\\ &=&{\frac {1}{6}}(k+1)\left[k(2k+1)+6(k+1)\right]\\\ &=&{\frac {1}{6}}(k+1)\left[2k^{2}+7k+6\right]\\\ &=&{\frac {(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}\end{matrix}}\,$

Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.

Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.

2.

Démontrer pour $n\geq 1\,$,

$(1+{\sqrt {5}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {5}}\,$

où $x_{n}\,$ et $y_{n}\,$ sont des entiers.

Lorsque n=1,

$1+{\sqrt {5}}=x_{1}+y_{1}{\sqrt {5}}\,$

Par conséquent $x_{1}=1\,$ et $y_{1}=1\,$, qui sont tous les deux des entiers.

Par conséquent, ceci est vrai lorsque n=1.

Supposons que ceci est vrai pour un certain entier positif k,

i.e. $(1+{\sqrt {5}})^{k}=x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}$ où $x_{k}\,$ et $y_{k}\,$ sont des entiers.

${\begin{matrix}(1+{\sqrt {5}})^{k}&=&x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}\\(1+{\sqrt {5}})^{k+1}&=&(x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}})(1+{\sqrt {5}})\\\ &=&x_{k}+y_{k}{\sqrt {5}}+x_{k}{\sqrt {5}}+5y_{k}\\\ &=&(x_{k}+5y_{k})+(x_{k}+y_{k}){\sqrt {5}}\end{matrix}}$

Puisque $x_{k}\,$ et $y_{k}\,$ sont tous deux des entiers, par conséquent $x_{k}+5y_{k}\,$ et $x_{k}+y_{k}\,$ sont aussi des entiers.

Par conséquent, ceci est aussi vrai pour k+1.

Par conséquent, par le principe d'induction mathématique ou de récurrence, ceci reste valable pour tous les entiers positifs n.