Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul des dérivées : solutions des exercices

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  • Trouver les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

Comme et sont des constantes,

Comme et sont des fonctions affines, leurs dérivées sont des constantes :

et

On peut trouver avec la règle de la dérivée d'un produit puisque

Or donc

Comme on trouve avec la règle de la dérivée d'un produit par une constante :

Comme on trouve avec la règle de la dérivée d'une somme :

Comme , donc

Comme , donc

Comme , donc

Comme , donc :


  • Vérifier que la règle de la dérivée d'un produit par une constante est un cas particulier de la règle du produit des dérivées

Comme est une constante, et


  • On veut prouver que pour tout entier
, où est un entier et est définie par
Montrer que la formule est vraie pour

donc

Montrer que si la formule est vraie pour alors elle reste vraie pour

donc

Si on suppose que la formule est vraie pour , et on obtient , la formule reste donc vraie pour n+1

Ces deux conditions suffisent pour conclure que la formule est vraie pour tout entier  : d'après la première condition la formule est vraie pour , d'après la seconde condition elle est donc vraie pour , mais encore d'après cette même condition elle est alors vraie pour et ainsi de suite, à l'infini.