Calcul différentiel et intégral pour débutants/La vitesse est une dérivée : solutions des exercices

• La distance parcourue, en mètres, par un corps en chute libre, lâché sans vitesse initiale, est à peu près égale à $x(t)=5t^{2}$ où $t$ est le temps écoulé, en secondes, à partir du lâcher.

Calculer $x'(t),x'(0),x'(1)$ et $x'(2)$ en m/s et en km/h.

Comme $(t^{2})'=2t$, $x'(t)=5\times 2t=10t$

$x'(0)=0,x'(1)=10$ m/s $=36$ km/h et $x'(2)=20$ m/s $=72$ km/h

Si le mobile est lâché d'une hauteur de 10 m, combien de temps lui faut-il pour arriver en bas ?

On cherche $t>0$ tel que $x(t)=5t^{2}=10$ donc $t^{2}=2$ et $t={\sqrt {2}}\approx 1.4$ s

Quelle est sa vitesse $V$ (en m/s et en km/h) à l'instant de l'impact sur le sol ?

$V=x'({\sqrt {2}})=10{\sqrt {2}}\approx 14$ m/s $\approx 50$ km/h