Calcul opérationnel

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Le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformation de « Laplace-Carson » permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Les techniciens emploient de préférence la transformation de Laplace-Carson, une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : permet d'associer à toute fonction d'une variable dite « fonction origine » une « fonction image » . Ainsi la solution algébrique de l'équation image pemet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

image de

La transformation inverse est notée :

original de

Transformations de base[modifier | modifier le wikicode]

Pour une constante « C »[modifier | modifier le wikicode]

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :


est l'original de

,


est l'original de

,


est l'original de

,


est l'original de

.


Image d'une variable « t »[modifier | modifier le wikicode]


Pour , on obtient l'image

Ainsi,

est l'original de
,
est l'original de
,
est l'original de
.

D'une manière générale, par récurrence pour tout « n » entier positif, on obtient : original de

Image de l'exponentielle de « at »[modifier | modifier le wikicode]


Si , la parenthèse devient :


, expression qui tend vers lorsque que , dans ce cas l'image de est


Pour « a » réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :


Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
-


Pour


Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
-
-
- - -


Si , l'image de est :


Fonction origine Fonction image Fonction origine Fonction image Condition(s)
-


Si , la valeur de est égale à zéro pour , idem pour la valeur de la fonction image lorsque .


Hypothèse fondamentale[modifier | modifier le wikicode]

L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origines f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de « t » négative. Bien que négligé la plus part du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de est

Représentation de .

L'échelon unité[modifier | modifier le wikicode]

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de « t » et égale à 1 pour toute valeur positive de « t ». Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)[modifier | modifier le wikicode]

Considérons une fonction h(t) telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

  • pour ,
  • pour ,
  • pour .
Représentation de la fonction .

La fonction h(t) a pour dérivée g(t), représentée ci-dessous, caractérisée par :

  • pour ,
  • pour ,
  • pour .

Quel que soit , l'aire du rectangle est égal à l'unité.

Représentation de la fonction .

Fonction de Dirac ou percussion-unité[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on fait tendre vers zéro, tend vers et tend vers une fonction notée qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité) caractérisée par deux valeurs :

* quel que soit « t » sauf pour où la valeur de devient infinie, et


* ,quel que soit t0 ≤ 0 et t > 0.


Il vient alors :

Image de la fonction de Dirac[modifier | modifier le wikicode]

L'image de la fonction de Dirac est la limite quand tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :



Ce qui est égal à qui, quand tend vers zéro, est égale à .


L'image de la fonction de Dirac est donc p.

Transformation des dérivées[modifier | modifier le wikicode]

Transformation des intégrales[modifier | modifier le wikicode]

Transformation des fractions rationnelles[modifier | modifier le wikicode]

Compléments[modifier | modifier le wikicode]

Formule du produit (de Borel)[modifier | modifier le wikicode]

Fonctions périodiques[modifier | modifier le wikicode]

Calcul d'intégrales[modifier | modifier le wikicode]

Extension de la factorielle[modifier | modifier le wikicode]

Application aux équations diffétrentielles linéaires[modifier | modifier le wikicode]

Ainsi à l'équation différentielle :



avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en ,


correspond une équation algébrique image de  :