Calcul opérationnel

Le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformation de « Laplace-Carson » permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Les techniciens emploient de préférence la transformation de Laplace-Carson, une constante ayant comme image la même constante.

L'expression : $\varphi (p)=p{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-pt}f(t)dt$ permet d'associer à toute fonction d'une variable $t\mapsto f(t)$ dite « fonction origine » une « fonction image » $p\mapsto \varphi (p)$. Ainsi la solution algébrique de l'équation image permet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.

La transformation directe est notée :

$\varphi (p)$ image de $f(t)$

La transformation inverse est notée :

$f(t)$ original de $\varphi (p)$

Transformations de base

Pour une constante « C »

La correspondance entre fonctions originales et fonctions images s'établit comme suit :

$C$ est l'original de $C$,

$C.f(t)$ est l'original de $C.\varphi (p)$,

$f_1(t)+f_2(t)$ est l'original de ${\varphi }_1(p)+{\varphi }_2(p)$,

$C_1.f_1(t)+C_2.f_2(t)$ est l'original de $C_1.{\varphi }_1(p)+C_2.{\varphi }_2(p)$

Image d'une variable « t »

$p{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-pt}.t.dt=-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}t.d(e^{-pt})=-[t.e^{-pt}{]}_0^{+\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-pt}dt$

Pour $p>0$, on obtient l'image $\frac{1}{p}$

Ainsi,

$t$ est l'original de $\frac{1}{p}$

,

$C.t$ est l'original de $\frac{C}{p}$

,

$C.t+C_1$ est l'original de $\frac{C}{p}+C_1$

.

D'une manière générale, par récurrence pour tout « n » entier positif, on obtient : $t^n$ original de $\frac{n!}{p^n}$

Image de l'exponentielle de « at »

$p{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-pt}.e^{at}dt=\frac{p}{a-p}.[e^{(a-p)t}{]}_0^{+\mathrm{\infty }}$

Si $a=\alpha +i\beta$, la parenthèse devient :

$[e^{(\alpha -p)t}(cos\beta t+isin\beta t{]}_0^{+\mathrm{\infty }}$, expression qui tend vers $-1$ lorsque que $p>\alpha$, dans ce cas l'image de $e^{at}$ est $\frac{p}{p-a}$

Pour « a » réel, le tableau de correspondance opératoire s'établit comme suit :

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{at}$	$\frac{p}{p-a}$	$(e^{at}-1)$	$\frac{a}{p-a}$	$p>a,a>0$
$e^{-at}$	$\frac{p}{p+a}$	$-(e^{-at}-1)$	$\frac{a}{p+a}$	$p>-a,a<0$
$\frac{e^{at}-1}{a}$	$\frac{1}{p-a}$	$-\frac{e^{-at}-1}{a}$	$\frac{1}{p+a}$
$ch(at)$	$\frac{p^2}{p^2-a^2}$	$sh(at)$	$\frac{pa}{p^2+a^2}$	$p>a$

Pour $a=i\omega$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{i\omega t}$	$\frac{p}{p-i\omega }$	$e^{-i\omega t}$	$\frac{p}{p+i\omega }$
$cos(\omega t)$	$\frac{p^2}{p^2+{\omega }^2}$	$sin(\omega t)$	$\frac{p\omega }{p^2+{\omega }^2}$
$\frac{1-cos(\omega t)}{{\omega }^2}$	$\frac{1}{p^2+{\omega }^2}$

Si $a=\alpha +i\beta$, l'image de $e^{(\alpha +i\beta )t}$ est : $\frac{p(p-\alpha +i\beta )}{(p-\alpha {)}^2+{\beta }^2}$

Fonction origine	Fonction image	Fonction origine	Fonction image	Condition(s)
$e^{\alpha t}cos\beta t$	$\frac{p(p-\alpha )}{(p-\alpha {)}^2+{\beta }^2}$	$e^{\alpha t}sin\beta t$	$\frac{p\beta }{(p-\alpha {)}^2+{\beta }^2}$

Si $\alpha <0$, la valeur de $e^{(\alpha +i\beta )t}$ est égale à zéro pour $t=+\mathrm{\infty }$, idem pour la valeur de la fonction image lorsque $p=0$.

Hypothèse fondamentale

L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de « t » négative. Bien que négligées la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction $U(t)$, dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de $\frac{p}{p+a}$ est $U(t).e^{at}$

Représentation de $U(t).e^{at}$.

L'échelon unité

La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de « t » et égale à 1 pour toute valeur positive de « t ». Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.

Représentation de la fonction échelon-unité U(t).

Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)

Considérons une fonction h(t) telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :

• $h(t)=0$ pour $t<0$,

• $h(t)=\frac{t}{ϵ}$ pour $0<t<ϵ$,

• $h(t)=1$ pour $t>ϵ$.

Représentation de la fonction $h(t)$ .

La fonction h(t) a pour dérivée g(t), représentée ci-dessous, caractérisée par :

• $g(t)=0$ pour $t<0$,

• $g(t)=\frac{1}{ϵ}$ pour $0<t<ϵ$,

• $g(t)=0$ pour $t>ϵ$.

Quel que soit $ϵ$, l'aire du rectangle est égal à l'unité.

Représentation de la fonction $g(t)=h^{\text{'}}(t)$.

Fonction de Dirac ou percussion-unité

Si l'on fait tendre $ϵ$ vers zéro, $h(t)$ tend vers $U(t)$ et $g(t)$ tend vers une fonction notée $U^{\text{'}}(t)$ qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité) caractérisée par deux valeurs :

* $U^{\text{'}}(t)=0$ quel que soit « t » sauf pour $t=0$ où la valeur de $U^{\text{'}}(t)$ devient infinie, et

* ${\int }_{t_0}^{+t}{U}^{\text{'}}(t)dt=1$ ,quel que soit t₀ ≤ 0 et t > 0.

Il vient alors : ${\int }_0^{+t}{U}^{\text{'}}(t)dt=U(t)$

Image de la fonction de Dirac

L'image de la fonction de Dirac est la limite quand $ϵ$ tend vers zéro de l'expression maintenant bien connue :

$p{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-pt}.g(t).dt=p{\int }_0^{ϵ}{e}^{-pt}.\frac{1}{ϵ}dt=\frac{1}{ϵ}.[-e^{-pt}{]}_0^{ϵ}$

Ce qui est égal à $\frac{1}{ϵ}.(1-e^{-pϵ})$ qui, quand $ϵ$ tend vers zéro, est égale à $p$.

L'image de la fonction de Dirac $U^{\text{'}}(t)$ est donc p.

Application aux équations différentielles linéaires

Ainsi à l'équation différentielle :

$A\frac{d^{3}y}{d{t}^3}+B\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+C\frac{dy}{dt}+Dy\mapsto f(y,y^{\text{'}},y^{{\text{'}}^{\prime }},y^{{\text{'}}^{″}})$

avec A, B, C, D étant des constantes et les conditions initiales définies en $y_0^{{\text{'}}^{\prime }},y_0^{\text{'}},y_0$,

correspond une équation algébrique image de $f(y,y^{\text{'}},y^{{\text{'}}^{\prime }},y^{{\text{'}}^{″}})$ :

$(A{p}^3+B{p}^2+Cp+D)\cdot Y=A\cdot p^3{y}_0+(Ay{\text{'}}_0+B{y}_0)\cdot p^2+(A{y}^{\prime }{\text{'}}_0+By{\text{'}}_0+C{y}_0)\cdot p+\varphi (p)$