Calcul tensoriel/Électromagnétisme/Équations de Maxwell (écriture duale)

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équations de Maxwell, formules topologiques[modifier | modifier le wikicode]

Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées sous la forme

et sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique. La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell et la seconde équation correspond au second groupe. Le tenseur est le tenseur dual du tenseur de composantes  :

Le tenseur contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes , les charges et les courants.

Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée de l'espace temps quadridimensionnel est nul. Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.

quadrivecteur charge-courant[modifier | modifier le wikicode]

Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges. Cela nous conduit à écrire comme somme d'un terme linéaire et d'un terme non linéaire  :

.

En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie non linéaire du tenseur  :

et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient

Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle, on a et donc

Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.

équation constitutive du vide[modifier | modifier le wikicode]

L'équation constitutive reliant la partie linéaire de et est simplement

avec (SI).

écriture traditionnelle des équations de Maxwell[modifier | modifier le wikicode]

Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle

Avec le même tenseur , le premier groupe s'écrit

expression des tenseurs électromagnétiques[modifier | modifier le wikicode]

Pour un tenseur métrique diagonal , les tenseurs électromagnétiques s'écrivent