Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Contraction

Un tenseur d'ordre P étant donné, on obtient un tenseur d'ordre $P-2$ en sommant toutes les termes correspondant aux mêmes valeurs de deux indices donnés, l'un covariant, l'autre contravariant.

$A^{ik}=\sum _{j}B^{i}{}_{j}{}^{kj}$

Avec la convention d'Einstein, on écrit

$A^{ik}=B^{i}{}_{j}{}^{kj}$

Puisque l'on a $B^{i}{}_{j}{}^{kn}=B^{i}{}_{}^{mkn}g_{jm}$, on peut effectuer la contraction sur deux composantes contravariantes ou bien deux composantes covariantes au moyen du tenseur métrique :

$A^{ik}=B^{imkn}g_{mn}=B^{i}{}_{m}{}^{k}{}_{n}g^{mn}$