Soit un champ vectoriel de coordonnées
dans la base naturelle associée au système de coordonnées
et de coordonnées
dans la base naturelle associée au système de coordonnées .
La dérivée partielle ou dérivée virgule
n'est pas un tenseur. En effet, lorsqu'on dérive la formule de changement de coordonnées
on obtient
formule de transformation d'un tenseur deux fois covariant, troublée par la présence d'un second terme, contenant le jacobien de la matrice de changement de base.
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a50bc33ac76326399f77f1f83c49eadaecf8da0)
![{\displaystyle \left[x_{a}\right]^{\square }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b6bd3e1deabc6874aa2f808f6977dd8e56aa38)
![{\displaystyle \left[v_{b}\right]_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c17984d52442f3c670eb17b42db41dcc59faa96)
![{\displaystyle \left[x_{b}\right]^{\square }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6da31255cff3a249f8663440883ae0e7ddaa03)
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i,j}=\left[\partial _{a}\right]_{j}\left[v_{a}\right]_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b895d68e6d3cdcd0679b3d3e431f997dfd51ce7)
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i}(\left[x_{a}\right]^{\Box })=\sum _{k}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}{}_{i}\left[v_{b}\right]_{k}\left(\left[\Theta _{ba}\right]^{\Box }(\left[x_{b}\right]^{\Box })\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96db2de8ccb2d26ab0ee8c06e8766f5f7300d9a9)
![{\displaystyle \left[v_{a}\right]_{i_{,}j}=\sum _{kl}{\left[\theta _{ba}\right]^{k}{}_{i}(\left[v_{b}\right]_{k_{,}l})\left[\theta _{ba}\right]^{l}{}_{j}}+\sum _{k}{(\left[\theta _{ba}\right]^{k}{}_{i_{,}j})\left[v_{b}\right]_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfced22e26d789083c345c832c95bd3cce37a8d)