Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Introduction

Pour les besoins du calcul tensoriel, nous serons amenés a utiliser une notation indicielle, ces indices pouvant êtres aussi bien des indices bas que hauts. Il faudra particulièrement faire attention au fait que les indices hauts ne représentent pas une puissance (en cas de réelle utilisation de puissance on peut toujours écrire $(x^{i})^{n}$).

Il faudra faire aussi faire attention au fait que l'on va utiliser des conventions de simplification pour alléger l'écriture. En particulier, la convention d'Einstein: si on a un vecteur:

${\vec {V}}=\sum _{i=1}^{n}V^{i}{\vec {e_{i}}}$

On omettra le signe "somme" et on écrira juste:

${\vec {V}}=V^{i}{\vec {e_{i}}}$

Remarquez la convention d'écrire les composantes avec un indice haut, et les vecteurs de bases avec un indice inférieurs (lorsque l'on utilise les composantes contravariantes - nous verrons ce que c'est précisément plus tard).

Exemples:

• le vecteur: ${\vec {V}}=a^{1}{\vec {e_{1}}}+a^{2}{\vec {e_{2}}}+a^{3}{\vec {e_{3}}}$ s'écrira ${\vec {V}}=a^{i}{\vec {e_{i}}}$ (en spécifiant évidemment que $n=3$)

• le système:

$a^{11}x_{1}+a^{12}x_{2}=b_{1}$

$a^{21}x_{1}+a^{22}x_{2}=b_{2}$

s'écrira $a^{ij}x_{j}=b_{i}$ ($n=2$: attention que l'indice de sommation est j dans ce cas et non pas i.)

Pour les dérivées partielles par rapport aux coordonnées, on utilise indifféremment les notations

${\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}=\partial _{i}f=f_{,i}$