Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante/Démonstration

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle.

Démonstration.

L'expression de la dérivée covariante à partir de la dérivée simple et du symbole de Christoffel donne $D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=\partial _{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)+\Gamma _{kj}^{i_{1}}*^{ki_{2}\ldots i_{N}}+\Gamma _{kj}^{i_{2}}*^{i_{1}k\ldots i_{N}}+\ldots +\Gamma _{kj}^{i_{N}}*^{i_{1}i_{2}\ldots k}$

Réécrivons premier terme sous la forme $\partial _{j}\left({\frac {\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}}{\sqrt {\det {g}}}}\right)$. Le symbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient $\epsilon ^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det {g}}}}\right)$.

Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle $k=i_{1}$, le deuxième à sa valeur pour laquelle $k=i_{2}$, etc. La somme des N termes vaut donc $\Gamma _{kj}^{k}*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}$. Étant donné l'expression de la contraction du symbole de Christoffel $\Gamma _{kj}^{k}=-\partial _{j}\left({\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\right)$, on trouve $D_{j}\left(*^{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\right)=0$, c.q.f.d.