Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur dualiseur/Nullité de la dérivée covariante/Démonstration

Un livre de Wikilivres.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

La dérivée covariante du tenseur dualiseur est nulle.

Démonstration.

L'expression de la dérivée covariante à partir de la dérivée simple et du symbole de Christoffel donne

Réécrivons premier terme sous la forme . Le symbole de Levi-Civita d'ordre N étant constant, ce terme devient .

Dans la liste des termes suivants, le premier se réduit à sa valeur pour laquelle , le deuxième à sa valeur pour laquelle , etc. La somme des N termes vaut donc . Étant donné l'expression de la contraction du symbole de Christoffel , on trouve , c.q.f.d.