Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseurs

Dans un espace de dimension N, un tableau à P indices $T_{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}$, chaque indice pouvant prendre N valeurs représente les composantes covariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les vecteurs de base locale lors d'un changement de système de coordonnées.

$\left[T_{a}\right]_{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}=\left[T_{b}\right]_{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}}\left[\theta _{ba}\right]^{j_{1}}{}_{i_{1}}\left[\theta _{ba}\right]^{j_{2}}{}_{i_{2}}\ldots \left[\theta _{ba}\right]^{j_{P}}{}_{i_{P}}$

Un tableau $T^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}$ représente les composantes contravariantes d'un tenseur d'ordre P dans un système de coordonnées données, si ce tableau se transforme comme les variations infinitésimales des coordonnées lors d'un changement de système de coordonnées.

$\left[T_{a}\right]^{i_{1}i_{2}\ldots i_{P}}=\left[T_{b}\right]^{j_{1}j_{2}\ldots j_{P}}\left[\theta _{ab}\right]^{i_{1}}{}_{j_{1}}\left[\theta _{ab}\right]^{i_{2}}{}_{j_{2}}\ldots \left[\theta _{ab}\right]^{i_{P}}{}_{j_{P}}$

On verra plus bas que des composantes contravariantes et covariantes peuvent correspondre au même tenseur, la transformation étant obtenue au moyen du tenseur métrique.

De la même manière qu'on définit un champ vectoriel comme un vecteur fonction de la position dans l'espace, on définit un champ tensoriel comme un tenseur fonction de la position dans l'espace. Dans la suite, on utilisera le simple mot tenseur, alors qu'on considérera en général un champ tensoriel.

Il n'y a pas de difficulté à définir un tenseur en composantes mixtes. On aura par exemple

$\left[T_{a}\right]^{i}{}_{j}{}^{k}=\left[T_{b}\right]^{l}{}_{m}{}^{n}\left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{l}\left[\theta _{ba}\right]^{m}{}_{j}\left[\theta _{ab}\right]^{k}{}_{n}$