Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Transformations entre systèmes de coordonnées

On s'intéresse maintenant aux changements de coordonnées entre deux systèmes de coordonnées différents.

Soient deux systèmes de coordonnées a et b (on va donc noter la i^ème composante d'un point respectivement $\left[x_{a}\right]^{i}$ et $\left[x_{b}\right]^{i}$ dans l'un ou l'autre des système). Considérons les fonctions de transformation :

$\left[x_{b}\right]^{i}=\left[\Theta _{ba}\right]^{i}\left(\left[x_{a}\right]^{0},\left[x_{a}\right]^{1},\ldots \right)$

$\left[x_{a}\right]^{i}=\left[\Theta _{ab}\right]^{i}\left(\left[x_{b}\right]^{0},\left[x_{b}\right]^{1},\ldots \right)$

Le jacobien de la transformation relie les variations infinitésimales des coordonnées :

$d\left[x_{a}\right]^{i}=\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{j}d\left[x_{b}\right]^{j}$

Ainsi on a:

$\left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{j}={\frac {\partial \left[\Theta _{ab}\right]^{i}}{\partial \left[x_{b}\right]^{j}}}$

Le jacobien de la transformation inverse est l'inverse du jacobien. Introduisant $\delta _{j}^{i}$ le symbole de Kronecker, on a

$\sum _{j}\left[\theta _{ab}\right]^{i}{}_{j}\left[\theta _{ba}\right]^{j}{}_{k}=\delta _{k}^{i}$

Et le symbole de Kronecker est défini comme suit:

$\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$