Calcul tensoriel/Notions élémentaires/composantes covariantes et contravariantes

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Soit un espace vectoriel, et soit et une base de .

On note, avec la convention d'Einstein:

Tout simplement, les nombres sont les composantes contravariantes du vecteur . Ce sont les composantes que l'on utilise habituellement.

Les composantes covariantes d'un vecteur sont les composantes d'un vecteur sur la base duale. On note:

ou la base est la base duale de , définie par:

Remarques:

  • Tous les vecteurs de la base duale sont orthogonaux à tous les vecteurs de la base de départ d'indices différents (produit scalaire nul).
  • Le produit scalaire entre un vecteur de la base ordinaire et un vecteur de la base duale mais de même indice cette fois, vaut 1.
  • On peut déduire qu'une base orthonormale est identique à sa base duale.
  • La base duale de la base duale est la base de départ.