Cosmologie/L'univers observable

L'univers observable est la portion de l'univers que nous pouvons observer, compte tenu de la limite de la vitesse de la lumière. Des objets situés très loin ne peuvent pas être vus pour une raison très simple : la lumière qu'ils émettent n'a pas eu le temps de nous parvenir. La distance maximale à laquelle nous pouvons voir des objets (sans tenir compte d'éventuelles limitations techniques) dépend de l'âge de l'univers. S'il faut un temps supérieur à l'âge de l'univers pour nous parvenir, il nous est actuellement impossible de les voir, ce qui n'est pas le cas pour des objets situés plus près. Cette distance maximale est donc le rayon de l'univers observable. L'ensemble des points situés à la distance maximale des objets observables, à savoir la surface de l'univers observable, porte un nom : c'est l'horizon cosmologique.

Le rayon de Hubble

On pourrait croire que le rayon de Hubble est une bonne estimation de la taille de l'univers observable. Pour rappel, ce rayon de Hubble est définit à partir du facteur de Hubble comme suit :

$R_{H}(t)={\frac {c}{H(t)}}=c\cdot T_{H}$, avec c la vitesse de la lumière et $T_{H}$ le temps de Hubble définit par $T_{H}={\frac {1}{H}}$.

Il s'agit de la distance parcourue par la lumière pendant le temps de Hubble, lui-même définit comme l'inverse du facteur de Hubble. Mais le rayon de Hubble n'est malheureusement pas une bonne estimation du rayon de l'univers observable, pas plus que le temps de Hubble ne donne l'âge de l'univers. Pour calculer ces deux valeurs, il faut utiliser des développements mathématiques différents. La raison tient dans la définition du rayon de Hubble : c'est la distance à partir de la laquelle tous les objets s'éloignent de nous plus vite que la lumière. Dit autrement, c'est la distance au-delà de laquelle la vitesse propre tenant compte de l'expansion dépasse c, mais la vitesse comobile reste évidemment en-dessous. Le rayon de Hubble n'est en rien la limite de l'univers observable : on voit des objets sont situés au-delà et on peut calculer leur redshift ou tout autre mesure pertinente. Dans la plupart des modèles cosmologiques, temps et rayon de Hubble n'ont pas de sens physique.

L'évolution du rayon de Hubble

On peut s'amuser à calculer dans quelles circonstances le rayon de Hubble est constant. Pour cela, prenons sa dérivée :

${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)={\frac {d}{dt}}(c\cdot T_{H})=c\cdot {\frac {d}{dt}}T_{H}$

On utilise alors la formule qui relie la dérivée du temps de Hubble au facteur de décélération :

$q+1={\frac {d}{dt}}{\frac {1}{H(t)}}={\frac {d}{dt}}T_{H}$

En combinant les deux équations précédentes, on trouve :

${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)=c\cdot (q+1)$

Cette dérivée s'annule quand $q=-1$. En analysant la dérivée, on remarque que le rayon de Hubble se contracte pour $q<-1$, augmente quand $q>-1$, et reste stationnaire pour $q=-1$.

Pour notre univers, tout semble indiquer qu'il augmente avec le temps. Et cela explique pourquoi on peut voir des objets qui se déplacent "plus vite que la lumière", dans le sens où l'expansion les éloigne de nous plus vite que la lumière. La raison est que, vu que le rayon de Hubble grandit, certains photons hors du rayon de Hubble finissent par y rentrer. Ils sont en quelque sorte rattrapés par le rayon de Hubble et nous finiront donc par les voir une fois arrivés sur Terre. Par contre, les objets qui ont émis cette lumière s'éloignent bien de nous plus vite que la lumière et restent au-delà du rayon de Hubble.

Prenons des objets situés au-delà du rayon de Hubble : la lumière émise par ces objets se déplace à la vitesse c, mais ces objets s'éloignent de nous plus vite que lumière du fait de l'expansion à une vitesse $v_{rec}$ qui se calcule avec la loi de Hubble. La vitesse des photons venant vers nous, en coordonnées non-comobiles, est donc de $v_{rec}-c$. Pour les objets au-delà du rayon de Hubble, $v_{rec}>c$, ce qui fait que leur lumière ne devrait pas nous rejoindre si le rayon de Hubble restait statique, car elle est supérieure à c. Mais il faut maintenant prendre en compte que le rayon de Hubble grandit à la vitesse qu'on vient de calculer plus haut. Ce qui fait que ces photons dont $v_{rec}>c$ se retrouvent quand même dans la sphère de Hubble, s'ils respectent la condition suivante :

${\frac {d}{dt}}R_{H}(t)\geq v_{rec}-c$

Le rayon comobile de Hubble

Notons que l'on peut calculer le rayon de Hubble comobile, c'est à dire en supprimant l'effet de l'expansion. Il est définit comme toute distance comobile, en divisant par le facteur d'échelle. Cela donne :

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a(t)\cdot H(t)}}$

En utilisant la formule $H={\frac {a'(t)}{a(t}}$ et en simplifiant, on trouve :

${\frac {R_{H}(t)}{a(t)}}={\frac {c}{a'(t)}}$

Ce rayon n'a pas plus de sens physique que le rayon de Hubble normal.

Le rayon de l'univers observable

Le calcul du rayon cosmologique actuel est assez simple sur le principe, mais compliqué en pratique. Une méthode assez simple se base sur la vitesse d'éloignement de l'horizon, à savoir la vitesse à laquelle l'horizon cosmologique s'éloigne de nous. Une fois cette vitesse connue, il suffit de l'intégrer sur l'âge de l'univers.

La vitesse d'éloignement du rayon observable est définie par :

$v(t)={\frac {d}{dt}}r(t)$, avec $r(t)$ le rayon de l'univers à l'instant t.

On réutilise l'équation du chapitre précédent, qui donne la vitesse en fonction de la distance: $v(t)=v(t_{0})a(t)+x(t_{0})\cdot H(t)$. Dans le cas de l'horizon cosmologique, la distance est égale au rayon de l'univers et la vitesse locale est égale à la vitesse de la lumière, ce qui donne :

${\frac {d}{dt}}r(t)=c+H(t)\times r(t)$

On peut reformuler le tout en divisant par $r(t)$, ce qui donne :

${\frac {r'(t)}{r(t)}}={\frac {c}{r(t)}}+H(t)$

On peut alors intégrer cette expression sur l'âge de l'univers pour obtenir le rayon de l'horizon cosmologique, du moins dans certaines conditions. Faire les calculs demande de connaître la loi d'évolution du facteur de Hubble $H(t)=...$. Mais dans les faits, elle nous est inconnue et on n'en a que quelques bribes. La théorie ne nous est pas d'un grand secours et le seul cas que l'on peut calculer simplement est celui où le facteur de Hubble est constant. En général, les modèles cosmologiques les plus simples supposent que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, de type $a(t)=a_{0}\cdot (t/t_{0})^{\beta }$, ce qui fait que l'équation peut se résoudre avec quelques développements analytiques. Mais des modèles plus réalistes ne suivent pas vraiment une loi de puissance, ce qui complique les calculs. Pour nous éviter de longs calculs fastidieux, nous allons étudier le cas général, en utilisant quelques raisonnements astucieux.

Le rayon comobile de l'univers observable

Une autre façon de faire les calculs est de passer par l'intermédiaire du rayon comobile. Pour rappel, ce rayon comobile est le rayon corrigé de l'influence du facteur d'échelle (et donc de l'expansion). Il vaut, par définition : $r(t) \over a(t)$.

La vitesse comobile est la dérivée de ce rayon comobile, qui est égale à :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)'}{a(t)}}-{\frac {r(t)\cdot a(t)'}{a(t)^{2}}}={\frac {r(t)'}{a(t)}}-H(t){\frac {r(t)}{a(t)}}$

On peut alors factoriser le rayon comobile $r(t) \over a(t)$ :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {r(t)'}{a(t)}}{\frac {a(t)}{r(t)}}-H(t)\right]$

On simplifie :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {r(t)'}{r(t)}}-H(t)\right]$

En injectant l'équation ${\frac {r(t)'}{r(t)}}={\frac {c}{r(t)}}+H(t)$ dans la précédente, on a :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {r(t)}{a(t)}}\left[{\frac {c}{r(t)}}+H(t)-H(t)\right]$

En développant, on trouve :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {r(t)}{a(t)}}\right)={\frac {c}{a(t)}}$

On voit que la dérivée est égale à ce qu'on appelle la vitesse comobile de la lumière. Par définition, la vitesse de la lumière est de $c=299792,458Km/S$, mais il s'agit d'une vitesse propre. On peut calculer sa vitesse comobile en divisant par le facteur d'échelle, ce qui n'est autre que le premier terme de l'équation précédente. $c_{com}={c \over a}$. En intégrant l'équation précédente sur l'âge de l'univers, on a la distance comobile de l'horizon, celle à laquelle se situait l'horizon cosmologique quand la lumière de l'horizon a été émise. On se retrouve alors avec une équation très générale, qui marche même quand le facteur de Hubble est variable.

Seule la vitesse comobile de la lumière devant être prise en compte. On trouve alors que le rayon comobile se calcule avec la formule suivante, avec $t_{u}$ l'âge de l'univers :

${\frac {r(t)}{a(t)}}=\int _{0}^{t_{u}}{c \over a(t)}dt=c\int _{0}^{t_{u}}{dt \over a(t)}$

Il est possible de simplifier fortement la formule précédente en faisant intervenir une variable particulière, appelée le temps conforme, définie par $\eta ={\frac {dt}{a(t)}}$. On peut voir ce temps conforme comme l'équivalent de la distance comobile, mais pour les durées. Il n'a pas vraiment d'interprétation physique digne de ce nom et sert plus d'intermédiaire pour les calculs. Avec le temps conforme, la formule précédente devient alors :

${\frac {r(t)}{a(t)}}=c\cdot (\eta _{0}-\eta _{t_{u}})$

On peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule $D=c\cdot \Delta T$, mais où le temps est remplacé par le temps conforme.

Le rayon actuel de l'univers observable

On peut obtenir la distance propre par un calcul très simple, à partir de la distance comobile. Le passage de la distance comobile à la distance propre se fait simplement en multipliant par $a(t)$. On obtient alors la distance propre suivante :

$r(t)=a(t)\cdot \int _{0}^{t_{u}}{c \over a(t)}dt$

Dans l'équation précédente, on peut factoriser la vitesse de la lumière, ce qui donne :

$r(t)=c\cdot \left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$

Comme pour le rayon comobile, on peut voir la formule précédente comme la généralisation de la formule $D=c\cdot \Delta T$, mais où la durée $\Delta T$ est remplacée par la valeur temporelle $\left[a(t)\cdot \int _{0}^{t}{1 \over a(t_{i})}dt_{i}\right]$.

Les intégrales précédentes ne sont pas solubles telles quelles. Il faut préciser comment le facteur d'échelle évolue avec le temps, sans quoi les intégrales ne peuvent pas être calculées exactement. Manque de chance, la loi d'évolution du facteur d'échelle nous est inconnue. Nous sommes obligés de postuler des fonctions particulières, en espérant qu'elles collent au mieux aux observations. Nous ferons cela plus en détail dans le chapitre sur les modèles cosmologiques.