Cosmologie/Les équations de Friedmann pour un univers plat et sans constante cosmologique

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Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

Après avoir vu le cas d'un univers vide, sans matière, nous allons maintenant étudier le cas d'un univers remplit de matière et/ou de rayonnement. Cependant, nous allons supposer que l'univers n'a pas de courbure, afin de simplifier les calculs. De plus, nous allons supposer que la constante cosmologique est nulle. En clair, nous allons étudier le cas d'un univers plat (c.a.d sans courbure et sans constante cosmologique. Avec un tel univers, la première équation de Friedmann se simplifie et devient :

Les deux autres équations de Friedmann ne sont pas touchées, mais il reste à les résoudre. Une solution pour simplifier les calculs consiste à réduire le nombre d'inconnues à un seule. Au lieu de travailler avec la pression et la densité, il est possible de ne travailler qu'avec la densité. Cela demande de postuler une relation entre la densité d'énergie et la pression, à savoir une équation d'état. Généralement, on postule que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. La relation entre pression et densité est donc de la forme :

La valeur de dépend selon que l'on considère la matière, le rayonnement ou l'énergie noire.

  • Pour la matière, on part du principe que celle-ci est un gaz parfait qui emplit l'espace. La pression d'un tel gaz est alors définie par la formule , avec la densité du gaz et v la vitesse moyenne de ses particules. Cependant, par souci de simplification, il est supposé que la vitesse des particules du gaz est très faible, au point qu'on peut la supposer nulle (ce qui marche bien pour de la matière qui va à faible vitesse). Dans ces conditions, la pression s'annule, peu importe la densité. On a alors : .
  • Pour le rayonnement, il est établi par la physique du rayonnement que .
  • Pour l'énergie noire, on sait que la pression est négative pour une densité positive. On sait donc que , mais guère plus. Pour simplifier les calculs, on suppose que . Empiriquement, les mesures réalisées par le satellite Planck semblent compatibles avec la valeur w = −1.028 ± 0.032.

Le cas général, avec w indéterminé[modifier | modifier le wikicode]

Pour commencer, nous allons étudier le cas général, dans lequel la valeur de n'est pas précisée. Nous allons étudier comment les équations de Friedmann se reformulent quand on injecte l'équation à l'intérieur. Les trois équations obtenues sont donc :

Remarquons que la première équation de Friedmann ne change pas, vu qu'elle n'a pas de terme de pression.

Pour obtenir cette version de la seconde équation de Friedmann, partons de la seconde équation de Friedmann originelle :

Injectons la formule  :

On simplifie par et on factorise  :

La détermination de l'équation de la densité en fonction du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Pour la troisième équation de Friedmann, on part de l'équation relativiste :

On fait le remplacement :

On simplifie par , et on factorise  :

On divise par et on réorganise les termes :

On utilise alors la relation , qui relie facteur de Hubble et facteur d'échelle :

On utilise alors la formule  :

On prend l'intégrale de l'équation, ce qui fait sauter les dérivées :

, avec et deux constantes d'intégration.

On réorganise les termes, ce qui donne :

, avec .

On prend l'exponentielle :

On utilise alors la formule  :

Pour conserver la cohérence des unités, correspond à une densité. Et plus précisément, l'équation n'a de sens que s'il s'agit de la densité quand . Il s'agit d'une densité de base que l'on notera . On a donc :

De plus, cette équation est valable quelle que soit la courbure, ce qui est important à remarquer.

La détermination de l'équation du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, essayons de trouver une équation pour le facteur d'échelle en fonction du temps. Pour cela, partons de l'équation précédente, reformulée comme suit :

Maintenant, prenons la première équation de Friedmann écrite comme suit :

En combinant les deux, on a :

On prend alors la racine carrée, ce qui est équivalent à élever à la puissance 1/2. Cela donne l'équation suivante :

On utilise alors la formule  :

On multiplie par a&(t), ce qui revient à ajouter 1 à l'exposant pour le terme de droite :

On simplifie l'exposant :

Résoudre cette équation différentielle dans le cas général est quelque peu complexe. Toujours est-il que le résultat est le suivant :

Les équations générales du modèle[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédente nous dit que le facteur d'échelle suit une loi de puissance, ce qui fait qu'on peut utiliser les formules du chapitre "Une introduction aux modèles cosmologiques". On trouve donc les résultats suivants :

La relation entre densité et âge de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

On peut aussi déterminer une relation entre l'âge de l'univers et la densité. Pour cela, partons de l'équation suivante :

En élevant l'équation au carré, on a :

On peut alors combiner cette équation avec l'équation suivante :

En égalisant les deux équations, on trouve :

En divisant par , on trouve :

Pour simplifier, on a :

On voit que la densité diminue avec le carré du temps, mais que la constante de proportionnalité dépend du paramètre de l'équation d'état.

Le facteur de décélération et les équations de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Maintenant, étudions le comportement de l'accélération de l'univers, à partir du facteur de décélération. Nous avons vu plus haut quelle était la valeur du facteur de décélération dans le cas général, mais sachez qu'il est possible de démontrer la valeur du facteur de décélération autrement.


Démonstration

Pour rappel, la définition du facteur de décélération est la suivante :

Le terme de gauche se calcule à partir de la seconde équation de Friedmann, alors que se calcule à partir de la première. Dans le cas qui nous intéresse, on a alors :

, vu que la courbure est considérée comme nulle.
, du fait de l'hypothèse .

On a alors :

On simplifie par  :

D'où on dérive :

Pour rappel, ce dernier nous dit sous quelles condition l'expansion ralentit, accélère ou reste stable. Pour cela, calculons la valeur de pour laquelle . On a donc :

On trouve alors que :

En étudiant un petit peu la relation , on en déduit le tableau suivant.

L'expansion accélère L'expansion est constante (modèle à croissance linéaire) L'expansion ralentit

L'accélération de l'univers ne peut donc s'expliquer que si l'énergie noire a une équation d'état de la forme :

Faisons maintenant le rapprochement avec les valeurs de obtenues pour le rayonnement, la matière et l'énergie noire. Pour un univers composé uniquement d'énergie noire, on déduit que l'expansion accélère sans cesse, vu que l'on a . Mais pour la matière et le rayonnement, on a , ce qui fait qu'un univers composé intégralement de matière et de rayonnement doit voir son expansion décélérer. Pour un univers qui contient un mélange d'énergie noire et de matière/rayonnement, tout dépend des parts respectives de chaque composant.

Le modèle cosmologique dominé par la matière[modifier | modifier le wikicode]

Le cas de l'univers qui ne contient que de la matière, sans rayonnement, ni constante cosmologique est le second cas que nous allons aborder. Dans ce modèle, la matière est un gaz parfait dont les particules sont des galaxies ou des amas de galaxies. Cette hypothèse est crédible dans le sens où les amas de galaxies sont relativement éloignés et interagissent peu. Comme autre simplification, nous allons prendre le cas d'une matière froide, au zéro absolu. Cette autre hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : seul 10% de la matière sert à fabriquer des étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc vraiment très froid ! En appliquant la loi des gaz parfaits avec une température au zéro absolu, on trouve que la pression est nulle quelle que soit la densité. Dit autrement, .

Avec cette hypothèse, les équation de Friedmann deviennent les suivantes :

On remarque qu'on retrouve les équations de Friedmann newtoniennes dans le cas où la courbure est nulle. Et nous avions vu que ce modèle permettait de démontrer les formules suivantes :

Paramètre Formule dans le cas de l'univers dominé par la matière
Densité en fonction du facteur d'échelle
Facteur d'échelle en fonction du temps
Facteur de Hubble
Temps de Hubble
Rayon de Hubble
Rayon de l'univers observable
Age de l'univers
Paramètre de décélération
Densité

Le modèle cosmologique dominé par le rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas où on considère un univers entièrement rempli de rayonnement, on, postule que le rayonnement est formé d'un gaz parfait de photons. Dans ces conditions, le comportement des photons fait que :

Avec cette valeur, les équations du cas général se simplifient comme suit :

Paramètre Formule du cas général Formule dans le cas de l'univers dominé par la matière
Densité en fonction du facteur d'échelle
Facteur d'échelle en fonction du temps
Facteur de Hubble
Temps de Hubble
Rayon de Hubble
Rayon de l'univers observable
Age de l'univers
Paramètre de décélération
Densité

Les équations précédentes disent que l'univers a une expansion plus rapide qu'avec l'univers dominé par la matière. La raison est que le rayonnement se dilue plus vite que la matière, comme le dit l'équation , en raison de la dilution par l'expansion de l'univers, mais aussi de l'expansion des longueurs d'onde. La dilution étant plus grande, la gravité perd plus rapidement en importance et l'expansion est donc plus rapide.

On peut noter que le rayon de Hubble et le rayon de l'univers observable sont égaux dans l'univers dominé par le rayonnement.

Le paramètre de décélération étant positif, on en déduit que l'expansion de l'univers ralentit progressivement avec le temps.