Cosmologie/Les modèles cosmologiques

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Par souci de lisibilité, nous noterons la dérivée première d'une variable comme ceci : . Même chose pour la dérivée seconde, notée . De plus, toutes les dérivées sont par rapport au temps. En clair, et .

Résoudre l'équation du fluide de Friedmann n'est pas très complexe, mais demande quand même quelques astuces mathématiques. Une solution pour simplifier les calculs consiste à réduire le nombre d'inconnues à un seule. Au lieu de travailler avec la pression et a densité, il est possible de ne travailler qu'avec la densité. Cela demande de postuler une relation entre la densité d'énergie et la pression. Cette relation est ce qu'on appelle une équation d'état.

La reformulation des équations de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

Généralement, on postule que la pression est proportionnelle à la densité d'énergie. La relation entre pression et densité est donc de la forme :

Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que la courbure de l'univers est nulle, afin de simplifier les calculs. Cette simplification est cependant une très bonne approximation de l'univers réel, toutes les observations semblant indiquer une courbure nulle.

L'équation du fluide de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

En introduisant dans l'équation du fluide de Friedmann, on obtient l'équation différentielle suivante :

Qui peut se reformuler comme suit :

La seconde équation de Friedmann[modifier | modifier le wikicode]

On peut aussi injecter la formule dans la seconde équation de Friedmann, ce qui donne :

On simplifie par  :

Puis, on factorise  :

Puis on simplifie par 3 :

On peut alors en déduire l'accélération de l'univers en fonction de la valeur de  :

  • Si , l'accélération s'annule : l'expansion est stable, n’accélère pas et ne décélère pas.
  • Si , l'accélération est négative : l'expansion décélère.
  • Si , l'accélération est positive : l'expansion accélère.

L'accélération de l'univers ne peut donc s'expliquer que si l'énergie noire a une équation d'état de la forme :

Les cas particuliers[modifier | modifier le wikicode]

La valeur de dépend selon que l'on considère la matière ou le rayonnement.

  • Pour la matière, on part du principe que celle-ci est un gaz parfait qui emplit l'espace. La pression d'un tel gaz est alors définie par la formule ci-dessous, avec la densité du gaz et v la vitesse moyenne de ses particules. Cependant, par souci de simplification, il est supposé que la vitesse des particules du gaz est très faible, au point qu'on peut la supposer nulle (ce qui marche bien pour de la matière qui va à faible vitesse).
  • Pour le rayonnement, il est établi par la physique du rayonnement que .
  • Pour l'énergie noire, on suppose que la . Empiriquement, les mesures réalisées par le satellite Planck semblent compatibles avec la valeur w = −1.028 ± 0.032.

Ces valeurs ont des conséquences extrêmement différentes sur les résultats de l'équation. Pour un univers composé uniquement d'énergie noire, on déduit que l'expansion accélère sans cesse, vu que l'on a . Mais pour la matière et le rayonnement, on a , ce qui fait qu'un univers composé intégralement de matière et de rayonnement doit voir son expansion décélérer.

Le modèle cosmologique dominé par la matière[modifier | modifier le wikicode]

Le cas de l'univers qui ne contient que de la matière, sans rayonnement, ni constante cosmologique est le premier cas que nous allons aborder. Dans ce modèle, la matière est un gaz parfait dont les particules sont des galaxies ou des amas de galaxies. Cette hypothèse est crédible dans le sens où les amas de galaxies sont relativement éloignés et interagissent peu. Comme autre simplification, nous allons prendre le cas d'une matière froide, au zéro absolu. Cette autre hypothèse n'est pas si abusive vu l'état actuel de l'univers : seul 10% de la matière sert à fabriquer de étoiles, le reste étant localisé dans des nébuleuses et des nuages moléculaires dont la température ne dépasse pas la dizaine de degrés au-dessus du zéro absolu. L'univers est donc vraiment très froid ! En appliquant la loi des gaz parfaits avec une température au zéro absolu, on trouve que la pression est nulle quelle que soit la densité. Dit autrement, .

La résolution de l'équation du fluide[modifier | modifier le wikicode]

Avec cette hypothèse, l'équation du fluide de Friedmann se simplifie alors en :

Ou encore :

La résolution de cette équation différentielle (laissée en exercice au lecteur) nous donne l'équation suivante. Avec quelques manipulations algébriques triviales, on retrouve un résultat établit il y a quelques chapitres : la densité de matière diminue avec le cube du facteur d'échelle.

Le calcul du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Dans un tel modèle, le facteur d'échelle évolue avec le temps en suivant cette équation :

Vu que les termes et sont des constantes (des constantes d'intégration, plus précisément), on peut les simplifier en une seule constante que nous noterons A. Cela donne l'équation suivante :

De cette équation, on peut obtenir les dérivées première et seconde (respectivement la vitesse et l'accélération de l'expansion) :

Le calcul du facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

En combinant le facteur d'échelle et sa dérivée, on retrouve le facteur de Hubble. Partons de la définition du facteur de Hubble :

Injectons l'équation obtenue plus haut.

Simplifions :

Le calcul de l'âge de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

A partir de l'équation précédente, on peut facilement dériver l'âge d'un tel univers hypothétique à partir du temps de Hubble.

Une autre démonstration, plus complète, est donnée ci-dessous.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann et simplifions-la en ne tenant en compte que la matière:

En se souvenant que , on a :

Multiplions par des deux côtés :

Prenons la racine carrée :

On utilise la formule  :

On isole le terme  :

En intégrant, il vient :

On peut alors déduire la valeur de la variable t, qui n'est autre que l'âge de l'univers. En supposant que le facteur d'échelle actuel vaut 1, l'équation se simplifie. Après quelques manipulations algébriques, on trouve que celui-ci est égal aux deux tiers du temps de Hubble.

Le calcul du rayon de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédent nous permet de calculer le rayon de l'univers observable. On a alors une équation étonnamment simple :


Démonstration

On a vu dans le chapitre sur l'univers observable que le rayon comobile de l'univers se calcule avec l'équation suivante :

On peut remplacer le facteur d'échelle par la valeur calculée ci-dessus, ce qui donne :

Le résultat de cette intégrale est le suivant :

En utilisant l'âge de l'univers calculée plus haut, on a :

On voit que le rayon de l'univers est le double du rayon de Hubble.

Le modèle cosmologique dominé par le rayonnement[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas où on considère un univers entièrement rempli de rayonnement, on, postule que le rayonnement est formé d'un gaz parfait de photons. Dans ces conditions, le comportement des photons fait que :

.

Résolution de l'équation du fluide[modifier | modifier le wikicode]

On obtient alors :

Ou encore :

La résolution de cette équation différentielle (laissée en exercice au lecteur) nous donne l'équation suivante. Avec quelques manipulations algébriques triviales, on retrouve un résultat établit il y a quelques chapitres : la densité de matière diminue avec la puissance quatrième du facteur d'échelle.

Évolution temporelle du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

Dans un tel modèle, le facteur d'échelle évolue avec le temps en suivant cette équation :

On peut simplifier le tout en supposant que le facteur d'échelle actuel est unitaire, ce qui donne l'équation suivante :

Détermination de l'âge de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

En ne tenant compte que du rayonnement, la première équation de Friedmann se reformule ainsi.

A partir de cette équation, on peut facilement dériver l'âge d'un tel univers hypothétique à partir du temps de Hubble.


Démonstration

Partons de la première équation de Friedmann et simplifions-la en ne tenant en compte que du rayonnement :

En simplifiant par ; on a :

En intégrant, il vient :

On peut alors déduire la valeur de la variable t, qui n'est autre que l'âge de l'univers. En supposant que le facteur d'échelle actuel vaut 1, l'équation se simplifie. Après quelques manipulations algébriques, on trouve que l'âge d'un tel univers est simplement le double du temps de Hubble.

Rayon de l’univers[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédent nous permet de calculer le rayon de l'univers observable. On a alors une équation étonnamment simple :


Démonstration

On a vu dans le chapitre sur l'univers observable que le rayon comobile de l'univers se calcule avec l'équation suivante :

On peut remplacer le facteur d'échelle par la valeur calculée ci-dessus, ce qui donne :

Le résultat de cette intégrale est le suivant :

En remplaçant l'âge de l'univers par sa valeur calculée précédemment, on a :

On voit donc que le rayon de l'univers est le double du rayon de Hubble.

Le modèle cosmologique dominé par l'énergie noire[modifier | modifier le wikicode]

La constance de la densité d'énergie noire a une conséquence assez intéressante : la densité étant constante, le facteur de Hubble est constant lui aussi. Cela signifie que l'énergie noire influence l'expansion de l'univers, mais a des effets strictement inverses à ceux de la matière ou du rayonnement.

Le calcul du facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La constance du facteur de Hubble a des conséquences assez intéressantes, qui peuvent se déduire de la définition du facteur de Hubble. Pour rappel, la définition du facteur de Hubble en fonction du facteur d'échelle donne :

Multiplions par des deux côtés :

Intégrons sur  :

Dans le premier terme, H est une constante, ce qui donne :

Le calcul des intégrales donne :

Prenons l'exponentielle des deux cotés :

En injectant l'équation , on a alors :

Cette équation nous dit que le volume de l'univers augmente de manière exponentielle avec le temps. Ce qui est beaucoup plus rapide que dans les deux autres modèles, où la croissance est plus lente. Ce plus, cette équation dit que l'univers a un âge infini : vu qu'une exponentielle ne peut être nulle, le facteur d'échelle et le volume de l'univers ne peuvent pas être nuls. Dit autrement : la singularité initiale est totalement évitée !

Le modèle cosmologique : cas général[modifier | modifier le wikicode]

Pour finir, nous allons étudier le cas général où on ne donne pas de valeur particulière pour . On doit alors repartir de l'équation suivante :

Facteur d'échelle[modifier | modifier le wikicode]

La résolution de cette équation nous donne :

Ou encore, si le facteur d'échelle actuel est de 1 :

Facteur de Hubble[modifier | modifier le wikicode]

Cette équation peut nous donner directement le facteur de Hubble. Pour cela, on peut calculer la dérivée du facteur d'échelle, ce qui donne :

Or, vu que , on a :

En divisant par a et en multipliant par dt, on a :

Age de l'univers[modifier | modifier le wikicode]

On peut alors calculer l'âge de l'univers, sous la condition que w > -1.