Dictionnaire de philosophie/A (logique)

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※ A (logique) ※

A est le symbole qui représente les propositions universelles affirmatives dans la logique catégorique, codifiée par la tradition scolastique médiévale à partir des distinctions introduites par Aristote et enseignée jusqu'à la fin du XIX^e siècle.

Structure de la proposition universelle affirmative

Une proposition universelle affirmative prend la forme canonique : tous les hommes sont mortels. Dans cette proposition, homme est le sujet, et mortel est l'attribut (ou prédicat), c'est-à-dire ce que l'on dit du sujet. Entre les deux se trouve la copule (sont), qui établit le lien logique d'attribution.

L'attribut mortel est affirmé de tous les hommes, c'est-à-dire qu'il est affirmé de manière universelle. Universel signifie ici que l'on considère tous les individus en particulier désignés par le sujet (tel homme, Socrate, etc.), et que l'on dit de chacun de ces individus, sans exception, qu'il possède l'attribut mortel. On dit que le sujet a une extension universelle dans la proposition.

Les quatre types de propositions catégoriques

La proposition de type A constitue l'une des quatre formes de propositions catégoriques, que l'on distingue selon deux critères : la quantité (universelle ou particulière) et la qualité (affirmative ou négative).

Aristote a établi ces distinctions conceptuelles fondamentales, mais la notation alphabétique A, E, I, O n'est pas aristotélicienne. Elle relève de la tradition scolastique médiévale, qui a codifié ces quatre formes en les désignant par les voyelles des mots latins AffIrmo (« j'affirme ») pour A et I, et nEgO (« je nie ») pour E et O. Les logiciens du Moyen Âge ont ainsi créé un procédé mnémotechnique à la fois clair et mémorisable.

Les médiévaux exprimaient ces quatre formes par ce distique mnémotechnique :

Asserit A, negat E, verum generaliter ambo ;

Asserit I, negat O, sed particulariter ambo.

Ce qui signifie : « A affirme, E nie, tous deux de manière universelle ; I affirme, O nie, tous deux de manière particulière ».

Les quatre types se formulent donc ainsi. Une proposition de type A (universelle affirmative) prend la forme « Tous les S sont P » — par exemple : tous les hommes sont mortels. Une proposition de type E (universelle négative) prend la forme « Aucun S n'est P » — par exemple : aucun homme n'est immortel. Une proposition de type I (particulière affirmative) prend la forme « Quelques S sont P » — par exemple : quelques hommes sont sages. Une proposition de type O (particulière négative) prend la forme « Quelques S ne sont pas P » — par exemple : quelques hommes ne sont pas sages.

Remarque sur l'import existentiel

Quand on dit « Tous les hommes sont mortels », on suppose naturellement qu'il existe effectivement des hommes. C'est ce que les logiciens appellent l'import existentiel : l'affirmation « Tous les S sont P » inclut implicitement l'idée que la classe S (ici, les hommes) n'est pas vide. Cette hypothèse était évidente aux yeux d'Aristote et des logiciens médiévaux qui l'ont suivi.

Or, cette présupposition pose un problème subtil mais important. Imaginez une proposition comme « Toutes les licornes sont blanches ». Dans la logique traditionnelle, cette phrase serait problématique ou fausse, puisque les licornes n'existent pas : on ne peut pas affirmer quelque chose de tous les membres d'une classe qui n'existe pas. Mais dans la logique moderne, inventée aux XIX^e et XX^e siècles, une telle proposition serait considérée comme vraie par vacuité — c'est-à-dire vraie simplement parce qu'il n'existe aucune licorne pour démentir l'affirmation.

Cette différence peut sembler technique, mais elle a des conséquences concrètes. En logique traditionnelle, si je dis « Tous les hommes sont mortels » (proposition A) et « Quelques hommes sont mortels » (proposition I), ces deux affirmations sont étroitement liées : si la première est vraie, la seconde l'est aussi. Les logiciens appellent cette relation une subalternation. Mais en logique moderne, cette relation disparaît : on peut avoir « Toutes les licornes sont blanches » (vrai par vacuité, puisqu'il n'y a pas de licornes) sans pouvoir en déduire « Quelques licornes sont blanches » (faux, puisqu'il n'existe aucune licorne pour être blanche).

Voilà pourquoi il faut toujours garder en mémoire que la logique aristotélicienne classique et la logique contemporaine n'interprètent pas la forme « Tous les S sont P » de la même manière. Cela n'affaiblit ni l'une ni l'autre : c'est simplement qu'elles opèrent dans des cadres différents.

Rôle dans le syllogisme

Les propositions de type A jouent un rôle central dans la théorie du syllogisme. Le mode syllogistique Barbara, qu'Aristote considère comme le syllogisme parfait de la première figure, se compose exclusivement de trois propositions de type A :

Tous les B sont A

Tous les C sont B

Donc, tous les C sont A

Par exemple :

Tous les hommes sont mortels

Tous les Grecs sont des hommes

Donc, tous les Grecs sont mortels

Extension en logique modale

Aristote n'a pas limité sa logique aux propositions simples du type « Tous les hommes sont mortels ». Il a aussi étudié ce qu'on appelle les propositions modales, c'est-à-dire des énoncés qui ajoutent une notion de nécessité ou de possibilité. Pour comprendre la différence, comparons :

• Proposition simple (ou assertorique) : « Tous les hommes sont mortels »
• Proposition modale : « Tous les hommes sont nécessairement mortels »

Dans le second cas, on affirme non seulement que les hommes sont mortels, mais que cette mortalité est inévitable, liée à la nature même des choses.

Où porte la modalité ?

Une question importante se pose : quand je dis « Tout homme est nécessairement mortel », qu'est-ce qui est nécessaire ? Deux interprétations sont possibles.

Selon la première lecture, la nécessité porte sur le lien d'attribution entre le sujet et le prédicat — c'est-à-dire sur le verbe « est ». On dit que c'est une modalité de re, qui signifie « sur la chose ». L'idée est que le fait que les hommes soient mortels est inévitable, inscrit dans leur nature.

Selon la seconde lecture, la nécessité porte sur l'ensemble de l'énoncé : on affirme qu'il est nécessairement vrai que tous les hommes sont mortels. C'est une modalité de dicto, qui signifie « de ce qui est dit ». L'idée est que la proposition elle-même est nécessairement vraie.

Ces deux façons de voir ne donnent pas exactement les mêmes résultats logiques, et les logiciens ont longtemps débattu de celle qu'Aristote avait en tête.

La possibilité : deux sens différents

Aristote s'est aussi demandé ce que signifiait « possible ». Là aussi, il faut être prudent. Quand on dit « Il est possible que les hommes aient des ailes », on peut entendre deux choses :

• La possibilité bilatérale : quelque chose qui pourrait être vrai ou faux — ce qui n'est ni forcément vrai ni forcément faux. Par exemple, « Il pleuvra demain » est bilatéralement possible : c'est un fait qui dépend des conditions, et aucune loi de la nature ne le détermine d'avance.

• La possibilité unilatérale : quelque chose qui n'est pas impossible— ce qui inclut à la fois ce qui est vrai et ce qui pourrait ne pas l'être. Par exemple, « Deux plus deux égale quatre » est unilatéralement possible, puisqu'il n'est certainement pas impossible (c'est même nécessaire). Mais « Il pleuvra demain » l'est aussi.

Pour Aristote et les logiciens médiévaux, cette distinction importait beaucoup, car elle change la façon dont on peut combiner les propositions modales dans un syllogisme. Un syllogisme dont toutes les prémisses sont modales ne fonctionne pas de la même façon selon qu'on utilise la possibilité bilatérale ou la possibilité unilatérale.

Les limites de notre connaissance

Aristote a écrit sur la syllogistique modale il y a plus de deux mille ans, et son texte est parfois difficile à interpréter. Les savants contemporains ne s'accordent pas entièrement sur ce qu'il voulait dire, notamment sur :

• La localisation exacte de la modalité : doit-on la placer sur la copule (le verbe « être »), sur toute la phrase, ou ailleurs ?
• Le sens précis de la possibilité qu'il avait en tête
• La cohérence interne du système : certains ont même demandé si Aristote avait véritablement réussi à construire un système modal complètement cohérent

Ces questions restent au cœur de la recherche en histoire de la logique. Ce que nous présentons ici est donc la lecture la plus courante, celle que la plupart des historiens considèrent comme juste, mais il faut savoir que d'autres interprétations existent et sont défendues par d'excellents savants.

Bibliographie

Sources primaires

• Aristote, Premiers Analytiques (Analytica Priora), livres I-II. Traduction française : Jules Tricot, Organon III : Les Premiers Analytiques, Paris, Vrin, collection « Bibliothèque des textes philosophiques », 1936 (réimpr. 1992) ; Michel Crubellier (trad.), Premiers Analytiques, Paris, Flammarion, collection « GF », 2014.
• Aristote, De l'interprétation (Peri Hermeneias). Traduction française : Jules Tricot, Organon II : De l'interprétation, Paris, Vrin, 1936.
• Antoine Arnauld et Pierre Nicole, La Logique ou l'art de penser (dite Logique de Port-Royal), Paris, 1662 (première édition). Éditions modernes : Charles Jourdain (éd.), Paris, Hachette, 1854 ; Pierre Clair et François Girbal (éd.), Paris, Vrin, 1993 ; Dominique Descotes (éd.), Paris, Champion, 2014.

Études

• William Kneale et Martha Kneale, The Development of Logic, Oxford, Clarendon Press, 1962 (ouvrage de référence sur l'histoire de la logique).
• Pierre Joray, « Syllogisme (A) », dans Maxime Kristanek (dir.), l'Encyclopédie philosophique, 2016, en ligne : https://encyclo-philo.fr/syllogisme-a
• Henrik Lagerlund (éd.), Encyclopedia of Medieval Philosophy. Philosophy between 500 and 1500, Dordrecht, Springer, 2020, articles « Aristotle », « Syllogism, Theories of ».
• Jean Jolivet, Arts du langage et théologie chez Abélard, Paris, Vrin, 1969 (ouvrage classique sur la logique médiévale et ses procédés mnémotechniques).
• Istvan Bejczy (éd.), Companion to Medieval Logic and Philosophical Language, Brill, 2020 (ressource contemporaine sur la logique scolastique).
• Marko Malink, Aristotle's Modal Syllogistic, Cambridge, MA et Londres, Harvard University Press, 2013 (réinterprétation majeure de la syllogistique modale aristotélicienne).
• Clarence Protin, « A Logic for Aristotle's Modal Syllogistic », arXiv:2110.00316, 2021 (proposition d'un nouveau système de logique modale pour interpréter la théorie aristotélicienne du syllogisme modal).
• Terence Parsons, Articulating Medieval Logic, Oxford, Oxford University Press, 2014 (étude fondamentale sur les présupposés de la logique traditionnelle, notamment l'import existentiel).
• Stephen Read, « Aristotle's Theory of the Assertoric Syllogistic », PhilPapers, en ligne : https://philpapers.org/archive/REAATO-4.pdf

Voir aussi

Proposition, Syllogisme, Carré logique, Import existentiel.