Discussion:Mathématiques au lycée/Équation du second degré

Est ce que quelqu'un pourrait s'occuper des démonstrations? Je ne m'en souvient plus... J'ai des petits probleme avec la syntaxe wiki,je n'arrive pas a inclure Δ dans les formules sans que cela n'occasionne une erreur... Je viens aussi de me rendre compte que je n'etait pas logué quand j'ai créé la page... Fanatux 18 novembre 2006 à 14:38 (CET)

c'est fait. On écrit simplement \Delta. Roll 30 novembre 2006 à 18:04 (CET)

---

________________________________________________________________________________________

• Sylvie-doublon?

Bonjour , je rédige cela pour des 15ans de classe de seconde.juste pour voir !--Guerinsylvie 29 novembre 2006 à 13:18 (CET)

Proposition sylvie La wikiversité ne doit pas , je pense, être LA PENSÉE UNIQUE . Voici comment j'enseigne le trinôme du deuxième degré et les solutions de l'équation du deuxième degré à des quinze ans de classe de seconde. C'est UNE proposition ; j'en ai vu bien d'autres.

---

On appelle trinôme du second degré sur les réels , l'application de $\mathbb {R}$ dans $\mathbb {R}$ :

x -> f(x) = ax² + bx + c

Il est parfois possible de scinder f(x) en 2 facteurs du premier degré [on dit parfois : mettre en facteur, ou trouver les racines du polynôme]:

$x->f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$

les valeurs réelles x1 et x2 s'appellent les racines réelles de l'équation f(x) = 0.

Dès la classe de seconde, on peut demander beaucoup de choses à un élève , de manière que la résolution soit intuitive : on aura ainsi plus de chances que le résultat soit moins important que la démonstration.

Initiation

jouer

Jouer est très important au début de toute leçon.

• on joue à tracer le graphique du graphe[x, x²]. On apprend ce qu'est une translation , via un calque . On apprend ce qu'est une échelle en comparant des carreaux différents ( carrés , rectangulaires, ...): bref , on arrive à se persuader qu'il n'y a qu'une seule "parabole"  : y = x²/2p , où p est le "paramètre" ou demi-latus rectum: la corde y= p/2 est la corde focale de longueur 2p. Le cercle surosculateur au sommet de la parabole a pour rayon R = p.

• on révise le programme de troisième :

résoudre 2x² -8 = 0 ; 3x^4 -243 = 0 ; 3(x+37)^4-243 =0.

• on révise la table des racines carrées entières des carrés inférieurs à 400 (classe de 6ème ?); on révise la table des racines carrées des chiffres ( éventuellement avec mathématica , pour bien "persuader" les élèves que sqrt(2) n'a pas de fin en écriture décimale.(perso, je n'insiste pas trop sur sqrt(7) =~ 2.646)( classe de 4ème?) ;par contre le tracé du graphe {x, sqrt(x)}est fait et refait , jusqu'à ce qu'un élève déclare : madame, cela n'est-il pas le même que {x²,x} tracé antérieurement , différemment.

• On scinde à vue tout polynôme dont une racine est évidente :
• exemple1 : x² +x - 2 = 0 a pour racine x= 1 , donc f(x) = (x-1)(x+2)
• exemple2 : x²-10x +21 =0 ( on tente sa chance : (x-5)² = x²-10x +25 de tête) , donc

f(x) = (x-5)²-4 gagné : f(x) = (x-3)(x-7).On peut aussi visionner la courbe dans sa tête et tenter x = 3 : de tête 9-30+21 = 0 gagné . On peut aussi comme on l'a vu en "jouant" , poser de tête x = 5y et réécrire dans sa tête après division par 25, y²-2y + 21/25 = y²-2y +1 - 4/25 gagné. On doit beaucoup jouer à cela.

• On commence par étudier le cas simple [dont nous verrons plus tard qu'il est le CAS GÉNÉRAL ]:

x -> f(x) = x² + 2x + c

.

On "joue" : c = 0,c = 0.0001, c= 1 , c > 1 , c = 0.9999 , c = -99 , c = -24 , etc.

• On remarque que le cas

x -> f(x) = x² + 2x + c = x² + 2x + 1 -k²

est "facile" car il s'écrit :

x -> f(x) = x² + 2x + 1 -k² = (x+1)² -k² = (x+1 +k)(x+1 -k)

Or si c <1 , rien n'interdit d'écrire c = 1 - k²!

• [ rappel : tout élève sait depuis la troisième , l'approximation ${\sqrt {1+chouia}}=1+{\frac {chouia}{2}}$]

• Remarque : il va de soi que je n'ai aucune préférence avec le CAS aussi GENERAL :

x -> f(x) = x² - 2x + c

.

remarques préalables de pertinence

• La première chose à remarquer est que le signe de a peut toujours être choisi positif , car il est loisible d'étudier -f(x) sans problème.

[ a ne peut être nul , car alors f(x) est un binôme du premier degré].

• La deuxième est que c ne peut être nul, car sinon le problème est facile: f(x) se factorise en x(ax+b) qui est facile à étudier( voir plus bas : problème de Didon).

• La troisième est que b ne peut être nul , car sinon , l'équation est un binôme en x² : il suffit de poser x² = y , et l'on revient au programme de classe de troisième : on résout y = -c/a ; puis si y > 0 , on prend la racine carrée.

• Ces trois cas étant écartés, il reste véritablement un trinôme, et les racines éventuelles vont dépendre de la valeur des 3 paramètres réels,(on dit le triplet de réels), [a , b , c ].

• En réalité en mettant a ( positif) en facteur , on peut se ramener aisément au cas du triplet [1 , b/a , c/a ].

Il n'y a donc en réalité que deux paramètres réels qui comptent et on peut se contenter d'étudier le cas du trinôme monique ( monique : = le coefficient de x² est 1 )

x -> f(x) = x² + 2b'x + c'

On a ici de plus posé b' = b/2a. Car cela est une méthode tout à fait généralisable pour éliminer le deuxième terme.

L' idée fondamentale : éliminer le terme en b'

On remarque que si l'on sait éliminer le terme en b', on sera ramené au cas connu de la classe de troisième.

Or x² + 2b'x = [x+b']² - b'² ; donc f(x) s'écrit :

f(x) = [x+b']² + [c'-b'²] = [x+b']² - [ b'² -c']

On pose $\Delta '=b'^{2}-c'$ , appelé le "discriminant réduit" et par conséquent f(x) s'écrit :

x -> f(x) = [x+b']² - $\Delta '$

On s'est donc ramené au cas discuté en troisième.

Solution

• rappelons la solution :

• 1. $\Delta '=0$ : racine double x = - b' = -b/2a

• 2. $\Delta '>0$ : deux racines x = - b/2a + $\Delta '$ et x = -b/2a - $\Delta '$

• 3. $\Delta '<0$ : pas de racines réelles.

___

exemple

trinôme 4x² + 8x - 96

remplacer immédiatement par l'étude de x² + 2x - 24

Le "discriminant réduit" $\Delta '$ vaut : 1² - (-24) = 25 > 0 :

Donc l'équation a deux racines : x = -1 + sqrt(25) = 4 et x = -1 - sqrt(25)= -6.

Somme S et Produit P des racines

• La Somme S des racines vaut S = -b/a , par simple addition !

• Le produit des racines vaut P = c/a [faire la multiplication et utiliser le développement remarquable (a+b)(a-b) = a²-b²]

• Donc si on connaît la somme S et le produit P , f(x) s'écrit :

x -> f(x) = a[x² - S.x + P ]

Remarques à l'usage des physicien(ne)s

On ne considère que des polynômes moniques .

On ne change rien à l'analyse en prenant b > 0 , car il suffit de réfléchir sur l'opposé de x , c'est à dire y = - x

Clairement si c négatif , alors il y a toujours deux racines , l'une positive et l'autre négative.

Il reste donc seulement le cas c positif :

Clairement a b et c tous positifs , il n'y a pas de possibilité que le trinôme s'annule pour x positif : donc pas de racines réelles positives ;

Il reste c "assez petit" (mais devant quoi ?) : on comprend visuellement si c est trop grand (10^50 par exemple) , malgré le terme en bx , la valeur du trinôme ne peut aller assez bas pour couper l'axe des x : [b'²- c'] sera négatif , donc pas de racines réelles.

• analyse du physicien : le physicien a une ressource de plus ! nous avons vu que les racines ne dépendent que de b' = b/a et de c' = c/a .

On peut aller un cran plus loin dans l'analyse, car le physicien dispose des "unités" :

Alors, on peut "jauger" x , c'est à dire de choisir une échelle d'unité pour x , celle que l'on veut. Alors dans cette unité [appelons-la Xo] , la mesure g de la grandeur x relativement à cette unité vaut x = g . Xo ; et le trinôme devient un trinôme en g :

g -> f(g) = a[g² Xo² + 2b'.g.Xo + c' ]

On utilise alors intelligemment la liberté de choix de l'échelle Xo pour prendre comme échelle Xo = b' . L'équation se simplifie encore ! Il n'y a plus qu'un SEUL paramètre :

g -> f(g) = a.b'²[g² + 2.g + c'/b'² ]

Ainsi le "vrai" discriminant du physicien est [1 - c'/b'²] : c'est lui qui discrimine s'il y a des racines réelles ou non : évidemment on peut dire comme les matheux : c'est [b²-4.ac] qui discrimine : YES , we agree! We don't learn the same vision , happily, doesn't it?

En tout cas , si on doit dresser les abaques des valeurs des racines en fonction du triplet [a , b , c] , on voit le net avantage de celui qui s'est TOUJOURS RAMENÉ au cas le plus simple :

x -> f(x) = x² + 2x + c

.

avec c = 1 - k^2

.

Ce qui n'entraîne AUCUNE RESTRICTION : TOUS les cas sont traités !Souvent cette ATTITUDE de se ramener le problème à une forme canonique plus simple est très recommandable. Elle évite la surcharge mentale de mémorisation. Ici, nous avons ramené le problème à c <1 , et nous avons posé c = 1-k² L'abaque est donc simplement une fonction de c : elle se programme facilement x1 = -1 - sqrt(1-c) et x2 = c/x1.

• Enfin , il vaut mieux en analyse numérique que les élèves comprennent qu'ils ne pourront pas programmer c = -10^(-15) , mais qu'alors la solution est évidente sans calculette : x = 10^(-15)/2 -x²/2 : donc avec une précision fantastique, le résultat est x1 = 10^(-15)/2 et x2 = -2 -x1.

cette analyse prévaut pour un calcul de tête , sans calculette , à la précision de 1% pour 0 <-c < 1/100 .

Au-delà, il n'y a pas de recette autre que celle donnée ci-dessus. Remarque : si c'est c qui est très très grand , alors poser x = 1/y et réfléchir pour se ramener au cas précédent.

Conclusion : pour un physicien pressé sans calculette, il y a 3 cas :

• b² >>4ac et alors il y a une grande et une petite racine (en module): la grande x = -b/a -c/x et la petite x = -c/b -x²/b
• b²<< -4ac : les racines sont quasi-opposées : x = sqrt(-c/a).y et y² = 1 -sqrt(b²/ac) .y
• b² ~-4ac :poser x = (b/a)y et résoudre l'équation en y

Remarque de Wheeler

dans un problème de physique, il ne peut pas arriver de choses intrigantes comme :

$x\to f(x)=\pi ^{e}x^{2}+8x+e^{\pi }\,$

ou

$x\to f(x)=N^{N}x^{2N}+(2N)x^{N}-24(N^{N-1+10^{-N}})$

avec N = le nombre d'Avogadro, ou alors il faut comprendre pourquoi.

• [par exemple en supraconductivité, on trouve des équations comme

$f(x)=x^{2N}+x^{N+1}+x-1=0\,$

elles sont très sensibles aux changements de coefficients !]

• Voici une fabuleuse équation de Ramanujan ( un des plus grands mathématiciens indiens du début du XXème , qui calculait de façon prodigieuse) :

$x\to f(x)=x^{4}-2\pi ^{2}x^{2}+{\frac {2143}{22}}$

It's not a joke ! Ce n'est pas de la numérologie ! (+, si désiré).

le critère a .f(xo) < 0

On ne considère que les polynômes où a = 1 .

Alors , en s'imaginant le graphe de f(x) , il est évident que si f(xo) est en dessous de l'axe des x , alors il y a deux racines réelles (x1,x2)telles que x1 < x0 < x2 . Cette évidence peut être démontrée : comment ? Il faut écrire algébriquement ce que l'on voit :

que vaut f(xo) : = [xo -x2][xo -x1] alors que xo-x2> et xo-x1 <0 ? f(xo) est négatif.

Réciproquement si f(xo) est négatif, xo ne peut être situé l'extérieur de l'intervalle [x2,x1], car sinon f(xo) serait positif : contradiction.

Quelques remarques de "bon sens"

Pour une physicienne, le "bon" sens , c'est celui qui a été indiqué par le professeur et acquis, intériorisé par l'élève.On dit parfois remarques de pertinence ( du professeure)

• 1. Si f(x) = 0 a deux racines réelles , alors 1/x1 et 1/x2 existent, et réciproquement ! quelle équation du second degré vérifient-elles ?

Réponse : si ax² + bx + c = 0 , alors a + b (1/x) + c (1/x)² = 0 dont heureusement le discriminant est le même : il est "pertinent" que $\Delta$ soit invariant par permutation de a et c.

• 2. Si f(x) = 0 a deux racines réelles x1 et -x2 existent et réciproquement. Qu'en déduire sur la dépendance de $\Delta$ avec b ?

Réponse : on s'inspire de l'exercice précédent : $\Delta$ ne peut dépendre que de b² et pas de "b tout seul"

Ces deux exemples pour rappeler que : {|{| border="1" cellpadding="5"|$\Delta =b^{2}[1-{\frac {4ac}{b^{2}}}]$|} : à une jauge près , le discriminant ne dépend que d'UN seul paramètre : ${\frac {4ac}{b^{2}}}$.

• 3. Équation réciproque : a = c .

Alors x2 = 1/x1 et x2+1/x2 = x1+1/x1 sont égaux à -b/a ( >2 bien sûr ou < -2 ).

• 4. On en déduit les exercices suivants : si on donne la différence D de deux racines et leur produit P , alors x1 et -x2 sont solution de :

f(x) = x² - Dx - P = 0.

si on donne la somme S et le quotient Q = x1/x2 , alors , x1 et x2 sont solution de : f(x) = x² -Sx + S/(2 +Q+1/Q) [Hint : calculer Q+1/Q ]

etc.

Théorème de : "Didon a dit , dit-on"

Il s'agit du cas c= 0. On se limitera à f(x) = x (2p-x) .(et p > 0)

Alors les deux racines sont x = 0 et x = 2p : entre les racines f(x) est évidemment positif. Et le binôme possède 1 seul maximum CAR la figure translatée à gauche de p s'écrit g(x) =[x+p][p-x] qui est symétrique x/-x : on peut se contenter d'examiner le cas x positif : or g(x) = p²-x² donc décroît de p² à 0 , quand x croît de 0 à p. D'où le théorème de Didon : f(x) = x(2p-x) est positif entre les racines et possède 1 maximum pour x= p , maximum qui vaut p².

Traduit géométriquement, si on appelle l et L la largeur et la longueur d'un rectangle de périmètre total donné ( = 2p) alors la surface est maximale si l=L , ie , le rectangle est un carré. Remarque : une physicienne aura intérêt à tracer un carré de 4 sur 4 et essayer de changer un peu en rectangle : la réponse apparaît très visible : la bande supprimée a plus de surface que la bande rajoutée.

• Pour aller plus loin : théorème de Didon généralisé :

soit $f(X)=X^{m}[2p-X]^{n}$ . Alors f(X) est maximum en X tel que : ${\frac {X}{m}}={\frac {2p-X}{n}}={\frac {2p}{m+n}}$ : il suffit de se ramener au théorème de Didon, mais c'est assez difficile. Or dès la terminale , cet exercice deviendra aisé via les dérivées logarithmiques. Donc il faut juste connaître la recette pour physiciens.

• Histoire des Sciences : (à compléter) ce type d'inégalité est dite isopérimétrique (on garde le même périmètre) et S est inférieure à So . Réciproquement, on peut se demander , si S est donnée ( égale à So) , est-ce que le périmètre peut être plus petit que 4 sqrt(So)? On vous laisse discuter. Le mathématicien contemporain Gromov s'est fait une spécialité de ce genre d'inégalités dans des situations époustouflantes. Et il en reste plein à trouver !

Exercices de physique

il y a des palanquées d'exercices de physique de seconde !

• mécanique : les plus connues sont les chutes : chute d'une pierre dans un puits, portée maximale ( sans dérivée , via Didon), tir plombé-ou-tendu, etc.
• courant continu :le pont de Wheatstone peut s'optimiser uniquement via Didon ( performance mathématique effectuée par Wheatstone lui-même).
• élec :le tracé de la courbe

$x->f(x)=(x/Q)/{\sqrt {(1-x^{2})^{2}+x^{2}/Q^{2}}}$ doit s'effectuer sans calcul de dérivée ( via x changé en 1/x) et le calcul de la largeur à 1/sqrt(2) du maximum doit se faire sans calcul grâce à l'exercice sur la différence des racines : {|largeur = 1/Q|} est le résultat à connaître, pour toute personne soucieuse de savoir ce qu'est une horloge précise.

• gaz : Un cylindre de section S= 1dm², de longueur l = 2* (22.4 cm) séparé en deux volumes égaux , contient dans V1 , une dM d'hélium et dans V2 une dM de dioxygène. On comprime adiabatiquement de façon à réduire le volume total de moitié. État final ? (Didon généralisé)
• optique : montrer qu'avec une lentille de focale f , la distance écran -projecteur de diapo ne peut être inférieure à 4f ( via Didon): c'est le problème dit de Silbermann.

Si la distance est inférieure à 4f, Bessel fait remarquer que les deux solutions consiste en une seule : la lentille dans un cas projette bien l'image (aggrandie) sur l'écran. L'autre consiste à penser "retour inverse de la lumière" :c'est l'écran qui joue le rôle de diapo et la diapo joue le rôle d'écran : on verra (avec une loupe) une minuscule image [le grandissement est évidemment l'inverse du cas précédent].

• chimie : c'est le cas quasi général ; toute équation de chimie peut et doit se ramener à une équation au plus du second degré, ou alors c'est un exercice de chimie fabriqué exprès par un matheux ( y a des exceptions , on le reconnaît! mais on ne les voit qu'aux olympiades!).

L'exemple typique est le dopage en acide : Quand on verse de l'acide dans l'eau , l'eau devient acide (pour ceusses qui trouvent cette phrase ridicule, qu'ils démontrent ce qui fait que le pH s'appelle potentiel hydrogène, c'est à dire démontrer plus généralement que lorsqu'on verse une solution de pH1 dans une solution de pH2 , le pH est intermédiaire): démonstration :

le Bilan de protons s'écrit : h = Ke/h + c/[1+h/K] =~ c/[1+h/K] d'où l'équation fondamentale :

$h^{2}+K\cdot h-K\cdot c=0$

où h désigne la concentration en hydronium , K la constante d'acidité ( en mol/L) et c la concentration de l'acide une fois versé dans l'eau ( il faut donc préalablement faire un petit calcul de dilution).

L'équation est homogène [on ne démarre aucun calcul en physique-chimie avant d'avoir vérifier l'homogénéité].

La réponse est devenue triviale si l'on connaît le cours précédent : l'équation n' a qu'une seule racine réelle positive.

• 1. si c << K , l'acide est dit FORT : h = c ( c'est le cas de HCl).
• 2. si c >> K l'acide est faible h = sqrt( Kc) [ à condition que h > Ke/h que nous avions négligé]
• 3. si c ~ K , l'acide est assez fort : il faut engager le calcul.

remarque de pertinence :

• à c égal , si K2 > K1 , h2 est plus grand que h1
• à K égal , si on met plus d'acide , la solution est plus acide : si c2 > c1 ,alors h2 > h1
• 4. un cas particulier évident est c = 2K : alors l'acide s'est dissocié à 50% et h = K .

Donc si c = K , alors h sera inférieur à K : c = K .(0.618).

La quantité de problèmes qui se ramène à ce cas ( le bilan de protons simplifié en une équation du deuxième degré par encadrement) est proprement effarante (pour une physicienne!). En particulier le bilan d'électrons pour les réactions redox est du même acabit. Rappelons qu'on ne demande aux élèves la valeur de h au plus à 1% , car les valeurs de K ne sont pas données à mieux que 1%. Cela conduit certains professeurs à interdire la calculette en chimie .

____

• etc.

Quelques devoirs

Exercice de Didon

Le rivage de Carthage n'est pas à protéger : c'est une falaise droite. La ville rectangulaire de moindres remparts a une extension 2L le long du rivage et L dans la direction perpendiculaire. Pourquoi ?

Exercice de dualité

la dualité en physique est une situation assez difficile à décrire en toute généralité. En tout cas, voici le premier exercice où un élève peut y être confronté :

Soit un ampli de force électromotrice E et d'impédance réelle de R = 16 Ohms. Montrer que les haut-parleurs doivent avoir la résistance r = R ( on dit adaptée!) pour qu'ils débitent la puissance maximale.

Réponse : P = r I² = r E²/(R+r)² = E² /[R/sqrt(r) +sqrt(r)]² et utiliser Didon-inverse.

Exercice Didon généralisé inverse :

l'étalon de poids , le kilogramme en platine-et-iridium , a été construit de manière que ce cylindre droit ait une surface minimale : montrer que sa hauteur est égale à son diamètre ( 36mm je crois). commentaire : pourquoi une surface minimale ? parce que l'on supposait, à juste titre, que l'adsorption de l'air serait minimale [Note: ce fait est confirmé : il faut toujours utiliser l'étalon avec EXACTEMENT le même air que celui qui est dans la troisième cloche de protection , c'est à dire l'air de Paris vers 1870 !Ah ! le BIPM fleure bon le XIXeme , mais flirte avec les meilleures réalisations du XXIeme !].

Le célèbre multiplicateur de Lagrange

Lagrange inventa une méthode stupéfiante pour trouver le minimum d'une fonction f(x,y) quand les deux variables x et y sont liées par une relation g(x,y) = 0

Il déclara qu'il suffisait de trouver le minimum de f quand on ajoutait une quantité quelconque de g ! soit trouver le minimum de f + L .g : le coefficient L est dit multiplicateur de Lagrange . Mais on doit trouver le minimum en x , le minimum en y et satisfaire g =0 , ce qui donne bien 3 équations pour trois inconnues x, y et L ! Cela et le théorème de Didon donnent des résultats époustouflants en classe de seconde!

Voici un exemple célèbre. C'est un problème de transport. On veut aller de A{a;0}en B {0;a} en passant par la route OB coûte deux fois moins cher que le trajet dans le plan. Le transporteur comprend immédiatement son problème : foncer droit jusqu'à un point H de la route OB et finir le parcours HB ; son coût sera AH +1/2 HB = AH -1/2 OH +a/2 : il faut donc minimiser X-1/2Y (on a posé AH = X et OH = Y , avec g(X,Y) = X²-Y²-a²=0)ce qui revient d'après Lagrange en posant L= 1/2K , minimiser 2K X +X² - KY - Y² +cste. Le théorème de Didon donne alors : X= -K et Y = -K/2 soit Y = X/2 : c'est gagné! le transporteur choisira l'angle OHA = 60°. ( Note : ce problème est celui aussi de joindre les quatre points d'un carré par le chemin le plus court ; en plantant entre deux plaques plexiglass 4 allumettes, une lame de savon prendra la forme voulue; en soufflant un peu, on trouve la deuxième solution à 90°, évidemment : voilà un cas de problème où la solution n'est pas unique et où chaque solution n'a pas la symétrie du problème posé: il y a brisure de symétrie. Il existe aussi une élégante solution optique à ce problème (penser indice n= 2)).

Devoir 1 :

Ce problème est l'occasion de réfléchir au format des feuilles de papier A4 de largeur l de longueur L . Touver l et L en cm. Indication : un format A4 se plie en deux en A5 et inversement un A3 plié en deux est un A4. Enfin un Ao est une feuille de 1 m².

Devoir 2 de vacances de Toussaint:

Ce problème est l'occasion d'apprendre la valeur de sqrt(5). Il est posé régulièrement aux alentours d'Halloween. Il est relatif à des questions d'esthétique, dite du nombre d'or:

$\Phi ={\frac {1+{\sqrt {(}}5}{2}}=environ1.618$ 

• 1/ en déduire une valeur approximative de sqrt(5) de tête.
• 2/ à la calculette, entrez $\Phi$, et vérifier que son inverse est égal à lui-même moins 1 , que son carré est égal à lui-même plus 1
• 3/ en deduire de deux manières l'équation du second degré dont le nombre d'or est racine.
• 4/ Montrer qu'il est aussi racine de x = 1 +1/(1+ 1/x);
• 5/ on appelle [x] la partie entière de x réel positif. On appelle mantisse m : = x-[x]. Inversons m en 1/m >1 et reprenons m2 = 1/m - [1/m] . Continuons avec m2 , etc.

Que donne cette suite à partir du nombre d'or ? Cette suite est périodique [1,1,1,1,...]. Quand une suite est périodique, on indique sa période ici T=1 et la valeur de la suite ici [1]. Si on s'arrête à la énième période, vérifier que l'on dépasse vite les capacités de la calculette, pour comparer avec le nombre d'or : par exemple trouver n pour 6 chiffres significatifs.

Voici donc un fait REMARQUABLE : si sqrt(5) ne peut s'écrire de manière finie en écriture décimale, il peut s'écrire aisément de manière finie en notation dite de fraction continue.

• 6/ essayer avec sqrt(2) et sqrt(3). Ne pas tirer de conclusion hâtive, mais savoir que cette méthode est très efficace en calcul numérique ( en particulier , ceux qui savent remonter de tête la chaîne de calcul sont souvent considérés comme des prodiges, alors que ...)
• 7/ Combien Google donne-t-il de réponses à "nombre d'or" ; puis à "nombre d'or" et Fibonacci : il faut savoir qu'il y a encore dans le monde des dizaines de chercheurs de très haut niveau qui travaillent sur et autour de ce nombre. Il existe même une revue trimestrielle pour publier leurs travaux !
• 8/ Pour halloween : Reprendre la construction d'Euclide du pentagone ( programme de 6ème sur la bissectrice), et retrouver Phi.
• 9/ Pour aller plus loin si on aimme la peinture : Guernica ( de Picasso) est construit sur Phi : le montrer. ( Bien d'autres oeuvres aussi)
• 10/ Pour aller plus loin si on aime les fleurs : la phillotaxie est la manière de répertorier la répartition des feuilles ou des fleurs,dans une plante . Le géomètre contemporain Coxeter a montré pourquoi le nombre d'or intervient souvent dans ce genre de situation, même si on l'avait remarqué dès 1904 , ou avant ...

Il y a de très beaux livres sur le nombre d'or à l'APMEP.

Devoir 3 ( en collaboration avec le prof de physique)

Dès que les élèves ont appris résistances série et résistances parallèles , il y a un évident parallèle entre fractions continues et résistances en echelle.( je le rédige si on me le demande,c'est un joli sujet, sylvie).

Vers plus de réflexion

Il paraît que c'est à 15 ans que l'on détecte les forts en math : si on les guide vers la solution de Cardan (issue de del Ferro , puis de Tartaglia), alors ils découvrent la solution de l'équation du 4ème degré ( de Ferrari).

• Commençer par dégrossir le travail :

$x->f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

montrer que cela se ramène en divisant par a , puis en posant b/a = 3b' , puis en translatant la courbe de -b', à l'équation :

$x->f(x)=x^{3}+px+q=0$

• Faire les remarques usuelles de "bon sens" : il y a évidemment une racine réelle au moins . Celle-ci supposée mise en facteur , on est ramené au cas du deuxième degré : donc il y aura une histoire de discriminant $\Delta =f(p,q)$ . Montrer que f(p,q) = 4p^3+27q^2 n'est pas non-pertinent. Si l'élève arrive vite à ce point, alors l'engager à continuer et le guider. Sinon , laisser mûrir l'élève.

Encore plus loin : GALOIS

Inutile de chercher la solution de la quintique : Elle ne s'exprime pas en termes de radicaux , comme la racine-cinquième . Pourtant des mathématiciens célèbres comme Euler cherchèrent beaucoup. En vain. Un jeune homme démontra (1832) qu'il fallait inventer des "hyper-radicaux" , les fonctions theta(z) dira-t-on plus tard. Ce jeune homme était Évariste GALOIS. Grâce au GROUPE de l'ICOSAÈDRE, Klein démontra (1884)que ces vues étaient correctes. Et l'on sait aujourd'hui exprimer les racines d'une équation du 5ème degré avec ces fonctions dites de mathématiques supérieures ( qu'on peut trouver dans Maple ou Mathematica). On sait aussi les cas où l'équation peut se résoudre par radicaux(Berwick,1915) , comme dans le facile x^5 = a^5 ; mais déjà x^5 = a^5 - b^4.x ( équation de Bring-Jerrard ) est impossible, sans faire intervenir la célèbre fonction elliptique de Weierstrass!

Encore plus loin !

En fait , les fonctions theta(z) généralisées ( ie de genre(genus in english) plus élevé) permettent d'exprimer les solutions d'une équation algébrique de n'importe quel degré , ceci grâce à la théorie des groupes de Galois ; mais soyons honnêtes : à part quelques chimistes qui en ont besoin , on pousse rarement les calculs au-delà de n = 8 ( Rappelons qu'il s'agit de trouver des résultats exacts et non des approximations numériques de x^k = 1-ax].

Enfin - [grande source d'étonnement en classe de seconde!]- malgré tout cela , les nombres réels solution d'une équation polynômiale à coefficients rationnels , appelés les nombres algébriques et qui font donc intervenir ces fonctions theta(z) , ces nombres algébriques sont infiniment moins nombreux que ceux qui ne le sont pas : les transcendants , comme le banal Pi = 3.14159...

Certains élèves en restent fascinés : surtout ceux qui ont trouvé la solution de f(x) du 4ème degré! et ils se dirigent parfois vers une carrière mathématique. D'autres décident de limiter leurs ambitions : ces "encore plus loin" , qui ne sont jamais finis, avec une intrication à peine croyable avec la chimie ou la physique, sont à double tranchant : ils peuvent exalter ; ils peuvent assommer. Nous souhaitons aux lecteurs une décantation saine de ces propos.

(l'équation de Cardan est traitée autre part dans cette wikiversité).

Relu pour "révision et préparations 2008-2009" et approuvé : --Guerinsylvie 19 août 2008 à 11:11 (CEST)